《徐树芳数值线性代数答案完全版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《徐树芳数值线性代数答案完全版（82页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数值线性代数习题解答习题11.求下三角阵的逆矩阵的详细算法。解设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下:注意到我们只需运用算法111,逐一求解方程厶爲=勺，i=1,2,便可求得尸=注意考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T,前代法）预置歩置T=1jbr丿=1：疋fori=1:-1T(k+1:=T仗+1:“)-丫欲丿)(丿+1:end=0,J”（刃,刀）end2.设氏丁丹为两个上三角矩阵，而且线性方程组（ST-心zb是非奇异的，试给出一种运算量为。3，）的
2、算法，求解该方程组。解因（血一ZI）=（S-1T-1）Tf故为求解线性方程组（ST-心x,可先求得上三角矩阵丁的逆矩阵T依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵t,算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为/）预置歩置亍=IforJ=1：fork-n2T(krj)=TkjyT(k,T(1:k-1J)=7(1:fc-lj)-7(AJ)Z(1:k-1悶endend(2) 计算上三角矩阵=-久T】。运算量大约为泊心.(3) 用回代法求解方程组：运算量为(4) 用回代法求解方程组：Tx=y运算量为3 2算法总运算
3、量大约为：十丄3 .证明:如果厶=1-賦是一个Gauss变换，则=W嵐也是一个Gauss变换。解按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵+人是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换W7血的逆矩阵。事实上(-賦)(/+蕊)=7+/X-賦-曲屍=I-賦尬；注意到=仏hw人丿,则显然有就人=从而有4 确定一个Gauss变换L,使_2_2_L3748解比较比较向量和ZSf可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量R34F的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下1_Z=212015 .证明：如果E有三角分解，并且是非奇异的，那么定理112中的L和U都是唯一
4、的。证明设=41=22,其中厶,“都是单位下三角阵，5，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是右厶=w注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等,故此，它们都必是单位矩阵。即骂厶=U眄=从而Zi=Z2,Uy=TJq即A的LU分解是唯一的。6 设的定义如下1,如果心J或/=n,气=7如果心么a其他Sb证明A有满足忖幻和C的三角分解。证明令小加是单位下三角阵，27是上三角o?iJ容易验证：A=LU.阵。定义如下22_L2=1,2,卫;丿=”.叫彳1J=J0
5、其余7设A对称且如L=并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式aUal7A_证明川2仍是对称阵。证明根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为1L1=10=-生ZLii111其中如=（勺1，,1）,将人分块为T411a期由A的对称性，&对称性则是显而易见的。8.设A=MeR那么是严格对角占优阵，即A满足k=1?2?KIZh乂设经过一步Gauss消去后，A具有如下形式ha_试证：矩阵堆仍是严格对角占优阵。由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵來说，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果。证明依上题的分析过程易知，题中的4=爲其中=2rr
6、n.于是&主对角线上的元素满足i=2,卫(1)aii-“ailaliaii_all堆非主对角线上的元素满足竝站抖茫际LJU2P11JU22JUia乞血由于A是严格对角占优的,22Bi/Ki|_lilJ2JiSlulv陥卜血|42从而(2)综合（1）和（2）得3=厶，鬼.即，矩阵堆仍是严格对角占优阵。9设Aek有三角分解。指出当把Gauss消去法应用于次（+1）矩阵卫丄时，怎样才能不必存储l而解出Ax=b?需要多少次乘法运算？解用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是丄，即如果把这一组初等行变换施加于
7、方程右端向量b上，即有ZT认=囚0切这就是说，方程组Ax=b和吩風是同解方程。而后者是上三角形方程组，可运用本章算法11-2求解。这样我们就不必存储L,通求解方程组5=,來求解原方程组Ax=bo算法如下：（1）用初等变换化心为厂切；forA;=1:-1A(k+1:=A(k+1:&上+1:冷七+1:刃)二卫(上+1:n,k+1:-A(k+1:刀Qj4(匕上+1:)b(k+1:w)=b(七+1:n)A(k+1:n.k)b(k)end（2）利用回代法求解方程组=广陀。该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为壬（33釣=2/十2宀i5310.A是正定阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为巧1焯
8、ha_的矩阵，证明&仍是正定阵。证明不妨设从而有LrA=110则有10玉1anroanaia.anW4J-1I.两1_oAJ厶卫蹲=由于“非奇异，故对且汇Hd，构造路及尹=可兗，则由A的正定性有01,“我们可以仿照定理1.1.2给出下列定理。定理：址严工，曲二1，也）的充分必要条件是矩阵/的各阶顺序主子阵非奇异。证明对于氐用归纳法。当无=1时，4=金留，定理显然成立。假定定理直到氐一1成立，下面只需证明：若4，4非奇异，则血非奇异的充要条件是眯7即可。由归纳假定知昭心工，21，我7因此，Gauss-Jordan约化过程至少可以进行无一】步，即可得到无一】个Gauss-Jordan变换M使川円二“汐也(164)由此可知川9的氐阶顺序主子阵有如下形式九*_0LJ_若将叽0-的氐阶顺序主子阵分别记为由（16J）知0d丸（小人）尢=-,；=1,，上_1.注意到编所以detA二口覇宀2-1即非奇异的充要条件是“就r0-17.证明定理131中的下三角阵L是唯一的。证明因A是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此A非奇异。为证明I的唯一性，不妨设有厶和厶使A=厶可那么石比2=可尸注意到：“和厶是下三角阵，圧和E为上
