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1、双曲线及其性质一 重点难点 ：双曲线的定义和性质二 基础知识点：1.双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即。当22时，轨迹是双曲线；当2=2时，轨迹是两条射线；当22时，轨迹不存在。2焦点在轴上时： ；焦点在轴上时：（）3范围、对称性 顶点： 特殊点：实轴：长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长4渐近线：双曲线的渐近线方程是（） 双曲线的渐近线方程是（） 5等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，6共渐近线的双曲线系：渐近线为，双曲线方程就是： 7离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 范围：，“e的大小”与“开口的阔窄”的
2、关系 8共轭双曲线： 的共轭为 9 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率10准线方程：左焦点对应着左准线，右焦点对应着右准线；上焦点对应着上准线；下焦点对应着下准线焦点到准线的距离（也叫焦参数）11.双曲线的焦半径（ 分别是双曲线的左（下），右（上）焦点）即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：焦点在y轴上12焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦例题1，已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为 练习1已知双曲线C与双曲线=1有公共焦
3、点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程_练习2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 练习3.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.练习4.已知点，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A BC（x 0） D例题2双曲线的渐近线为，则离心率为 练习1若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D.例题3. 双曲线的渐近线方程是 ( )A. B. C. D. 练习.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A B C D例题4双曲线的一弦中点为（2，1
4、），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. B. C. D. 练习 在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.家庭作业：1双曲线16x29y2=144的实轴长、虚轴长、离心率分别为_2顶点在x轴上，两顶点间的距离为8， e=的双曲线的标准方程为_3双曲线的两条准线间的距离等于_4若双曲线上一点P到双曲线上焦点的距离是8，那么点P到上准线的距离是_ 5经过点M(3, 1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是_ 6以y=x为渐近线的双曲线的方程是_ 7等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 8从双曲线的一个焦点到一条渐近线
5、的距离是 . 9与有公共焦点，且离心率e=的双曲线方程是 10以5x2+8y2=40的焦点为顶点，且以5x2+8y2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 _. 11已知双曲线上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离12若共轭双曲线的离心率分别为e1和e2，则e1和e2必满足的关系式为_13若双曲线经过点(6, )，且渐近线方程是y=x，则这条双曲线的方程是_14双曲线的渐近线为y=x，则双曲线的离心率为_15如果双曲线右支上一点P到它的右焦点的距离等于2，则P到左准线的距离为_16已知双曲线的一条准线是y=1，则实数k的值是_17在双曲线的一支上有不同的三点A(x1, y1), B(, 6)
6、, C(x3, y3)与焦点F间的距离成等差数列，则y1+y3等于 _18如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）A9 B16 C18 D27 19 设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（ ）AB12CD2420设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A B C. D21. P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）（A）（B）（C）（D）22，若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|
7、PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 23 如图，点为双曲线的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，已知，且线段PF的中点在双曲线的左支上.（）求双曲线的标准方程；（）若过点的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，设，当时，求直线的斜率的取值范围. 参考答案：1. 8, 6, 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. b 9. 10. 11. 答案： 12. =1 13. 14. 或 15. 8 16. 17. 12 18解析 ，选C19解析： 又由、解得直角三角形，故选B。20【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知PF1F2是直角三角形，F1P F2=90.选B.
8、21解析设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知，22【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为，故选A.23【分析】第（）问中，线段PF的中点M的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向 第（）中，直线的斜率是主要变量，其它包括都是辅助变量. 斜率的几何意义是有关直线倾斜角的正切，所以设置直线的参数方程，而后将参数用的三角式表示，是一个不错的选择.【解析】（）设所求双曲线为：.其左焦点为F（-c。0）；左准线：.由，得P（，1）；由FP的中点为.代入双曲线方程： 根据（1）与（2）.所求双曲线方程为. （）设直线的参数方程为：.代入得：当，方程（3）总有相异二实根，设为. 已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，.于是：.注意到在上是增函数，（4）代入（5）： 双曲线的渐近线斜率为，故直线与双曲线的左右两支分别交必须.综合得直线的斜率的取值范围是.
