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1、立体几何(1) 日期: 1. 正四棱台AC1的高是17 cm,两底面的边长分别是4 cm和16 cm,求这个棱台的侧棱长和斜高.2.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是3/2cm,(1)求三棱台的斜高;(2)求三棱台的侧面积和表面积.3.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,E是棱CC1上的点,且CE=CC1.(1)求三棱锥CBED的体积;(2)求证:A1C平面BDE.22立体几何(1)答案1.解:如图所示,设棱台的两底面的中心分别是O1、O,B1C1和BC的中点分别是E1和E,连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE,则四边
2、形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.A1B1=4 cm,AB=16 cm,O1E1=2 cm,OE=8 cm,O1B1=2 cm,OB=8 cm,B1B2=O1O2+(OB-O1B1)2=361 cm2,E1E2=O1O2+(OE-O1E1)2=325 cm2,B1B=19 cm,E1E=5cm.答 这个棱台的侧棱长为19 cm,斜高为5cm.2. 解 (1)设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心,如图所示,则O1O=,过O1作O1D1B1C1,ODBC,则D1D为三棱台的斜高;过D1作D1EAD于E,则D1E=O1O=,因O1D1=3=,OD=6=,则DE
3、=OD-O1D1=-=.在RtD1DE中, D1D=.(2)设C、C分别为上、下底的周长,h为斜高,S侧=(C+C)h= (33+36)=(cm2),S表=S侧+S上+S下=+32+62= (cm2).故三棱台斜高为 cm,侧面积为 cm2,表面积为 cm2.3. (1)解 CE=CC1=,VCBDE = VEBCD =SBCDCE=11=.(2)证明 连接AC、B1C. AB=BC,BDAC.A1A底面ABCD BDA1A.A1AAC=A BD平面A1AC.BDA1C.tanBB1C=, tanCBE=,BB1C=CBE.BB1C+BCB1=90,CBE+BCB1=90,BEB1C.BEA1
4、B1,A1B1B1C=B1,BE平面A1B1C,BEA1C.BDBE=B,BE平面BDE,BD平面BDE,A1C平面BDE.立体几何(2) 日期: 1.如图,四棱锥的底面是正方形,点E在棱PB上.()求证:平面; ()当且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.第3题第2题第1题2.如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且()求证:平面;()当为的中点时,求与平面所成的角的大小;()是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.3.如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,以的中点为球心、为直径的球面交于点(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成的角;w.w.w.k.s.5.u.c.
5、o.m (3)求点到平面的距离1.2.3.立体几何(2)答案1. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力()四边形ABCD是正方形,ACBD,PDAC,AC平面PDB,平面.()设ACBD=O,连接OE,由()知AC平面PDB于O,AEO为AE与平面PDB所的角, O,E分别为DB、PB的中点,OE/PD,又,OE底面ABCD,OEAO,在RtAOE中, ,即AE与平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设则,(),ACDP,ACDB,AC平面PDB,平面.()当且E为PB的
6、中点时,设ACBD=O,连接OE, 由()知AC平面PDB于O,AEO为AE与平面PDB所的角,即AE与平面PDB所成的角的大小为.2. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力()PA底面ABC,PABC.又,ACBC.BC平面PAC.()D为PB的中点,DE/BC,又由()知,BC平面PAC,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m DE平面PAC,垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角,PA底面ABC,PAAB,又PA=AB,ABP为等腰直角三角形,在RtABC中,.在RtADE中,与平面所成的角的大小.()
7、AE/BC,又由()知,BC平面PAC,DE平面PAC,又AE平面PAC,PE平面PAC,DEAE,DEPE,AEP为二面角的平面角,PA底面ABC,PAAC,.在棱PC上存在一点E,使得AEPC,这时,故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系, 设,由已知可得. (), ,BCAP.又,BCAC,BC平面PAC.()D为PB的中点,DE/BC,E为PC的中点,又由()知,BC平面PAC,DE平面PAC,垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角,.与平面所成的角的大小. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()同解法1.3. 解:方法(一):(1)
8、证:依题设,在以为直径的球面上,则.因为平面,则,又,所以平面,则,因此有平面,所以平面平面.()设平面与交于点,因为,所以平面,则,由(1)知,平面,则MN是PN在平 面ABM上的射影,所以 就是与平面所成的角,且 所求角为(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,平面于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中,所以为中点,则O点到平面ABM的距离等于。方法二:(1)同方法一;(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则, ,设平面的一个法向量,由可得:,令,则,即.设所求角为,则,所求角的大小为. (3)设所求距离为,由,得:
9、立体几何(3) 日期: 1. 如图,平面平面,是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,的中点, (I)设是的中点,证明:平面; (II)证明:在内存在一点,使平面,并求点到,的距离2. 如图,四棱锥SABCD的底面是正方形,SD平面ABCD,SDADa,点E是SD上的点,且DEa(01). ()求证:对任意的(0,1),都有ACBE()若二面角C-AE-D的大小为600C,求的值。3. 如图所示,在四面体ABCD中,E、F分别是线段AD、BC上的点,=,AB=CD=3,EF=,求AB、CD所成角的大小. 立体几何(3)答案1. (I)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为
10、轴,轴,轴,建立空间直角坐标系O,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则,由题意得,因,因此平面BOE的法向量为,得,又直线不在平面内,因此有平面(II)设点M的坐标为,则,因为平面BOE,所以有,因此有,即点M的坐标为,在平面直角坐标系中,的内部区域满足不等式组,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在内存在一点,使平面,由点M的坐标得点到,的距离为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. 本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。()证发1:连接BD,由底面是正方形可得ACBD。 SD平面,BD是BE在平面
11、ABCD上的射影,由三垂线定理得ACBE.(II)解法1:SD平面ABCD,平面, SDCD. 又底面是正方形, DD,又AD=D,CD平面SAD。过点D在平面SAD内做DFAE于F,连接CF,则CFAE, 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角,即CFD=60在RtADE中,AD=, DE= , AE= 。于是,DF=在RtCDF中,由cot60=得, 即=3 , 解得=3.如图所示,在线段BD上取一点G,使=.连接GF、GE、EF.=,GEAB,且GE=AB=2,同理,GFCD,且GF=CD=1,在EGF中,cosEGF= -,EGF=120.由GFCD,GEAB可知,AB与CD所成的角应是EGF的补角为60. 立体几何(4) 日期: 1. 如图所示,已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上,PDA=60.(1)求DP与CC所成角的大小; (2)求DP与平面AADD所成角的大小.第3题第2