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1、第一章引言时域有限差分法技术的发展计算电磁学是现代电磁场理论、现代数值计算方法、现代计算机技术相结合所产生的一门交义学科。计算电磁学以电磁场理论为基础，以高性能计算机技术为工具和手段，运用计算数学提供的各种方法，为电磁场理论的研究提供了有力工具。当前计算电磁学中使用较多的方法主要有两大类：一类是以电磁场问题的积分方程为基础的数值方法，如矩量法系列；另一类是以电磁场问题的微分方程为基础的数值方法，如有限差分法系列。有限差分法简称差分法，这种方法以简单、直观的特点而得到广泛的应用，无论是常微分方程还是偏微分方程、各种类型的二阶线性方程，以致高阶或非线性方程,均可利用差分法转化为代数方程组，而后用计
2、算机求其数值解。特别的，作为一种电磁场数值计？算方法，时域有限差分法（Finite-DifferenceTime-DomainMethod）具有一些非常突出的优点（直接时域计算、节约存储空间和计算时间、适合弁行计算、简单），得到了越来越广泛的应用。1966年，提出了时域有限差分法的基本原理，他在论文中用后来被称为Yee网格的空间离散方式，把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分格式，弁成功地模拟了电磁脉冲与理想导体作用的时域响应。这就诞生了后来被称为时域有限差分发（FDTD）的一种新的时域计算方法。近十年来，它倍受专家、学者青睐，被称为90年代重要的电磁场计算方法之一。在最初20年的发展
3、中，主要解决的是以下一些问题：吸收边界的应用和不断改善；总场区和散射场区的划分；实现稳态场的计算。80年代后期以来，时域有限差分法山成熟转入被广泛接受和应用，在应用中乂不断有新的发展。在这一阶段主要解决了以下儿个问题：回路积分法和变形网格；亚网格技术；广义正交曲线坐标系中的差分格式和非正交变形网格：适于色散介质的差分格式；超吸收边界条件和色散吸收边界条件等。时域有限差分近期发展的另一个特点是迅速扩大了它的应用范围。在80年代中期它还主要应用于电磁场散射问题，到80年代中期首先成功地用到了生物电磁剂量学问题的汁算的电磁热疗系统的计算机模拟。到80年代后期，证明了时域有限差分法用于微波电路的时域分
4、析非常成功。进入90年代以来乂被用于天线辐射特性的汁算问题。随着新技术的不断提出，应用的范圉和质量正在不断地扩大和提高。时域有限差分法的特点特点，也是作为一种电磁场的数值计算方法，时域有限差分法具有一些非常突出的它的优点。最重要在以下儿个方面：（1）直接时域计算时域有限差分法把含时间变量的Maxwell旋度方程在Yee氏网格中转换为差分方程。在这种差分格式中每个网格点上的电场（或磁场）分量仅与它相邻的磁场（或电场）分量及上一步该点的场值有关，随时间步的推进，能够直接模拟电磁波的传播及其与物体的相互作用过程。时域有限差分法能够直接给出非常丰富的电磁场问题的时域信息，给复杂的物理过程描绘出清晰的物
5、理图像。如果需要频域信息，则只需要对时域信息进行Fourier变换，为获得宽频带的信息，只需要在宽频谱的脉冲激励下进行一次计算。（2）广泛的适用性。由于Maxwell方程是时域有限差分法计算任何问题的数学模型，因而它的基本差分方程对于广泛的问题是不变的，具有最广泛的适用性，近儿年的发展也证实了这点。从具体的算法看，在时域有限差分法的差分格式中，被模拟空间电磁性质的参量是按空间网格给出的，因此只需设定相应空间点以适当的参数，就可以模拟复杂的电磁结构。媒质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性的等均能很容易的进行精确模拟。不管是色散、辐射、传输、透射或吸收中的哪一种,也不论是瞬态问题还是稳态问题，
6、只要能正确的对源和结构进行模拟，时域有限差分法就能给出正确的解答。止匕外，吸收边界条件和连接条件对很多问题是可以通用的，而计算对象的模拟跟以上部分没有直接联系，可以独立进行。因此一个基础的时域有限差分法讣算程序,对广泛的电磁场问题具有通用性，对不同问题或不同讣算对象只需要修改有关部分，而大部分是通用的。（3）节约存储空间和计算时间。在时域有限差分法中，所需的存储空间直接山所需的网格空间定,在计算时，每个网格都按同样的差分格式计算，所以所需的时间也与网格总数N成正比。相比之下，若离散单元是，则矩量法所需的时间也与（3N）2成正比，而所需的CPU时间则与GN）,至（3N）成正比，当N较大时，两者之
7、间的差别是明显的。（4）适合弁行计算。当代电子计算机的发展方向是运用弁行处理技术，以进一步提高计算速度。如前面所指出的，时域有限差分法的计算特点是，每一个网格点上的电场（或磁场）分量仅与它相邻的磁场（或电场）分量及上一步该点的场值有关，这使得它特别适合弁行计算。施行弁行计算可使时域有限差分法所需的存储空间和计算时间减少为只与N1成正比。（5）计算程序的通用性。曲于Maxwell方程是时域有限差分法计算任何问题的数学模型，因而它的基本差分方程对于广泛的问题是不变的。因此一个基础的时域有限差分法计算程序，对广泛的电磁场问题有通用性。(6)简单、直观、容易掌握。由于时域有限差分法直接从Maxwell
8、方程出发，不需要任何导出方程，这样就避免了使用更多的数学工具，使得它成为所有电磁场的计算方法中最简单的一种。其次，山于它能够直接在时域中模拟电磁波的传播及其与物体作用的物理过程，所以它乂是非常直观的一种方法。这样,这一方法很容易得到推广，弁在广泛的领域发挥作用。时域有限差分法的运用由于时域有限差分法的特点，到现在为止，它儿乎被用到了电磁场工程中的各个方面，而且其应用的范围和成效还正在迅速扩大和提高。下面将时域有限差分法应用的一些主要方面及其所显示的优势加以阐述。1 .在目标电磁散射特性研究中的应用：U标的电磁散射特性是一个经典而乂经久不衰的研究课题，隐身和反隐身技术的发展把这一问题的研究推向一
9、个新的阶段。在应用中已显示，对于结构复杂或线度达到数个波长的I标散射特性的汁算，时域有限差分法具有突出的优越性。时域有限差分法山于对结构模拟的超凡能力，在计算及其复杂LI标的电磁散射问题中仍具有巨大潜力。止匕外，时域有限差分法已被用于逆散射问题。2 .在电磁兼容问题中的应用：电磁兼容性越来越受到人们的重视，其中有许多复杂的电磁场讣算问题。透入和吊扰是两个最具特点的问题。为了计算这些复朵的电磁问题，首先是对这些复杂结构进行正确模拟，而时域有限差分法正是在这方面具有其突出的优越性。因此，时域有限差分法已被用来讣算非常复杂的电磁兼容问题。3 .在天线辐射特性计算中的应用时域有限差分法用于天线辐射的讣
10、算虽然开始较晚，但发展很快。现在已经涉及到多种类型的问题，除线性振子天线之外，还有微带天线、喇叭天线和放射天线等。时域有限差分法用于天线辐射讣算的优越性仍然是对复杂结构的模拟能力。它在计算天线的瞬时辐射方面具有突出的优点。此外，时域有限差分法的直接时域计算在天线的宽频带辐射特性的讣算中也显示出了突出的优点。4 .在微波电路和光路时域分析中的应用微波电路和光路的时域分析是时域有限差分法被成功应用的另一个重大方面。随着通信和雷达技术的发展，高速和宽带器件显得越来越重要，而且需要了解它们的宽频带和包括时间在内的四维信息。在解决这类问题方面，传统的频域方法已显得力不从心，而时域有限差分法不仅能够通过一
11、次运行得到宽频带信息，而且可以了解脉冲信号在电路中的详细传输过程，从而大大加深了对电路工作原理的深刻理解。现在，用时域有限差分法不仅分析了均匀功能器件的传输结构，而且分析了各种非均匀性，具至诸如定向耦合器,虑波器等一些功能器件的传输特性，不仅包括波导及其器件，还涉及到微带线，共面波导和槽线等。最近随着把时域有限差分法用于光路的分析中，在这方面的应用还具有巨大潜力，必将发挥更大的作用。止匕外，时域有限差分法在生物电磁讣量学，无限通信信道模型研究等等方面的应用正在受到越来越广泛的重视。本次工作的意义山前面介绍的FDTD的原理和特点，我们可以看出，用时域有限差分法作电磁仿真程序具有很强的通用性和实用
12、性。同时，相对于另外的算法如有限元法（FEM）、矩量法（MoM）,FDTD有它自己的优越性。它简便快捷，对含任意物质特性白一般EM结构，都具有卓越的仿真能力。另外，山于没有矩阵的填写和求解，它在讣算时间和内存占用上比其他方法效率高得多，能通过一次的系列仿真提供频带很宽的结果，而这点对于频域技术如FEM、MoM是不可能的。本课题主要是运用Mtalab语言，编程计算方同轴线中主模为阻抗TEM模的场分布，弁计算任意尺寸该种方同轴线的特性。弁在此基础上，设计两个特性阻抗均为50Q左右的尺寸不同的方同轴线，计算传输的波形，及两者相连的不连续附近的场分布。第一章有限差分法的基本原理差分运算的基本概念至今天
13、，它仍在电磁场数值分析的计算方法中，有限差分法是应用最早的一种方法，直以其简单、直观的特点而被广泛应用者。无论是常微分方程或偏微分方程、初值问题或者边值问题、椭圆型、双曲型或抛物型二阶线性方程，以及高阶或非线性方程，通常均可利用次法将它们转化为代数方程组，再借助计算机求其数值解。设函数/（X），其独立变量X有很小的增量2=h,则相应地该函数的增量为Af=/(X+/7)-/(A)它称为函数/（X）的一阶差分，它与微分不同，因是有限量的差，故称为有限差分。而一阶差分纣？除以增量力的商，即一阶差商AxhIJ将接近于一阶导数df/dxo一阶差分仍是独立变量x的函数，类似地，按式0计算一阶差分差分,就得
14、到二阶差分A2/（X）O显然，只要上述增量力很小，差分纣？与微分之间的差异将很小。()一阶导数dxa*AX是无限小的微分 牛，打为心）除以无限小微分 为：公辿心”）7dx Axh即有限小的差分夕同理，一阶导数还可以近似地表达为页心飞厂=h或者=!吧苫几刃 的商，应用差分，它可近似地表示（前向差分）（）（X）除以有限小的差分心的商，被称为差商。（后向差分）（）0、纣（X）_/+）一/心一力）（中心差分）（）dxAx2h它们对于一阶导数的逼近度可以通过泰勒公式的展开得知。很明显的，以上三种差商表达式中以（）式所示的商差的的截断误差最小,其误差将大致和h的二次方成正比。对于二阶导数同样可近似为差商的
15、差商，即)if f(x + h)-f(x-h)f(x)-f(x-h)f(x + h)-2f(x) + f(x-h)h2()上式相干护耒勒公式fa+/“+F册二2/(小+胪等+f4A4八+=dx4!dx截断于r略去了胪项以及更高幕次的项。显然，二阶差商dx1A7 (x) Af (x + /?) -Af (A) 2力2d)近似于二阶导数一4一()在上述标准差分格式中，对自变量的微分心我们取bZ = h o而在广义的差分格式中，我 TO,几固定（）2.们可取dx=Ah,A)=h+O(h)进一步，我们还可以假设更一般的差分格式如下;dx02（入）（）其中，0（九&）=方+0（力2）TO,2固定（）这种广义的差分格式给我们离散化工作带来了更多的选择方案、更大的自曲度。偏导数也可以仿造上述方法表示为差商，它用各离散点上函数的差商来近似代替该点的偏导数，将需求解的边值问题转化为一组相应的差分方程，而后根据差分方程组（代数方程组），解出位于各离散点上的待求函数值，便可得到相应的
