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1、第十二讲 数列求和及数列应用适用学科数学适用年级高三理知识点1.求数列通项公式的方法2.求数列前n项和的方法3.数列的综合问题4.实际问题与数列教学目标1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中 ,识别数列的等差关系或等比关系 ,并能用有关知识解决相应的问题教学重点数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位 ,一般情况下都是出一道解答题 ,解答题大多以数列为工具 ,综合运用函数、方程、不等式等知识 ,通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜测、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法 ,这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力
2、,它们都属于中、高档题目.有关命题趋势：1数列是一种特殊的函数 ,而不等式那么是深刻认识函数和数列的有效工具 ,三者的综合题是对根底和能力的双重检验 ,在三者交汇处设计试题 ,特别是代数推理题是高考的重点；2数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点 ,这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力 ,能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；3数列与新的章节知识结合的特点有可能加强 ,如与解析几何的结合等；4有关数列的应用问题也一直备受关注.教学难点数列的综合运用教学过程一、知识讲解考点1数列前n项和Sn与通项an的关系讲解内容：数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= .考点2.求通项常用
3、方法讲解内容：构造新数列法.作等差数列与等比数列；累差叠加法.最根本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1；归纳、猜测法 再用数学归纳法证明.考点3数列前n项和讲解内容：重要公式：1+2+n=n(n+1)；12+22+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2；等差数列中 ,Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中 ,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和 ,即an=f(n+1)f(n) ,然后累加抵消掉中间的许多项 ,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法.用裂项法求和 ,需要掌握
4、一些常见的裂项 ,如：；=；nn！=(n+1)!n!、；Cn1r1=CnrCn1r；=等.错位相减法来源:对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和 ,常用错项相消法., 其中是等差数列 , 是等比数列 ,记 ,那么 ,并项求和把数列的某些项放在一起先求和 ,然后再求Sn.注：数列求通项及和的方法多种多样 ,要视具体情形选用适宜方法.通项分解法：考点4递归数列讲解内容：数列的连续假设干项满足的等量关系an+k=f(an+k1,an+k2,an)称为数列的递归关系.由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列.如由an+1=2an+1 ,及a1=1 ,确定的数列即为递归数列
5、.递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：1归纳、猜测、数学归纳法证明.2迭代法.3代换法.包括代数代换 ,对数代数 ,三角代数.4构造新数列法.最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题.二、例题精析【例题1】【题干】数列为等差数列 ,且公差不为0 ,首项也不为0 ,求和：.【答案】=.【解析】因为 ,那么=.【例题2】【题干】求【答案】见解析【解析】 ,【例题3】【题干】设a为常数 ,求数列a ,2a2 ,3a3 , ,nan ,的前n项和【答案】Sn=.【解析】假设a=0时 ,Sn=0；假设a=1 ,那么Sn=1+2+3+n=；假设a1 ,a0时 ,Sn-aSn=a1+a+an-1-na
6、n ,Sn=.【例题4】【题干】 ,数列是首项为a ,公比也为a的等比数列 ,令 ,求数列的前项和【答案】【解析】 ,-得： ,【例题5】【题干】求.【答案】【解析】. 又. 所以.【例题6】【题干】设数列是公差为 ,且首项为的等差数列 ,求和：【答案】【解析】因为 ,【例题7】【题干】函数x3+x2 ,数列 | xn | xn 0的第一项x11 ,以后各项按如下方式取定：曲线y在处的切线与经过0 ,0和xn ,fxn两点的直线平行求证：当n时：I；II【答案】见解析【解析】I因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.II因为函数当时单调递增 ,而所以 ,即因此又因为令那么因为所
7、以因此故【例题8】【题干】,其中,设,.(I) 写出；(II) 证明:对任意的,恒有.【答案】(I) ；(II)见解析【解析】(I)由推得,从而有；(II) 证法1:当时 ,当x0时, ,所以在0,1上为增函数.因函数为偶函数所以在1,0上为减函数 ,所以对任意的 ,因此结论成立.证法2：当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数.因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的又因所以因此结论成立.证法3：当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数.因为函数为偶函数所以在1,0上为减函数.所以对任意的由对上式两边求导得：因此结论成立.【例题9】【题干】某企业进行技术改造 ,有两种方案
8、,甲方案：一次性贷款10万元 ,第一年便可获利1万元 ,以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元 ,第一年可获利1万元 ,以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年 ,到期一次性归还本息. 假设银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算 ,试比拟两种方案中 ,哪种获利更多？【答案】甲方案更好【解析】甲方案是等比数列 ,乙方案是等差数列 ,甲方案获利：万元 ,银行贷款本息：万元 ,故甲方案纯利：万元 ,乙方案获利：万元；银行本息和：万元故乙方案纯利：万元；综上可知 ,甲方案更好.【例题10】【题干】自然状态下的鱼类是一种可再生资源 ,为持续利用这一资源 ,需从宏观上考察
9、其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量 ,nN* ,且x10.不考虑其它因素 ,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比 ,死亡量与xn2成正比 ,这些比例系数依次为正常数a ,b ,c.求xn+1与xn的关系式；猜测：当且仅当x1 ,a ,b ,c满足什么条件时 ,每年年初鱼群的总量保持不变？不要求证明设a2 ,b1 ,为保证对任意x10,2 ,都有xn0 ,nN* ,那么捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.【答案】I见解析II当且仅当ab ,且时 ,每年年初鱼群的总量保持不变. 1【解析】I从第n年初到第n+1年初 ,鱼群的繁殖量为axn
10、,被捕捞量为bxn ,死亡量为 II假设每年年初鱼群总量保持不变 ,那么xn恒等于x1 , nN* ,从而由*式得：因为x10 ,所以ab.猜测：当且仅当ab ,且时 ,每年年初鱼群的总量保持不变.假设b的值使得xn0 ,nN* 由xn+1=xn(3bxn), nN*, 知0xn3b, nN*, 特别地 ,有0x13b. 即0b0.又因为xk+1=xk(2xk)=(xk1)2+111又因为b1=2 ,所以2数列bn是等比数列 ,故其前n项和：【稳固】1. 求数列1 ,3 ,32 , ,3n的各项的和.【答案】(3n13-n).【解析】其和为(133n)()=(3n13-n).2. 设数列an的前n项和为Sn ,对任意的正整数n ,都有an=5Sn+1成立 ,记bn=nN* ,求数列an与数列bn的通项公式；设数列bn的前n项和为Rn ,是否存在正整数k ,使得Rk4k成立？假设存在 ,找出一个正整数k；假设不存在 ,请说明理由；记cn=b2n-b2n-1nN* ,设数列cn的前n项和为Tn ,求证：对任意正整数n ,都有Tn.【答案】 ,；不存在见解析【解析】当n=1时 , , ,又 , ,即 ,数列an成等比数列 ,其首项 ,公比 , ,；不存在正整数k ,使得成立；下证：对任意的正
