《新版高考第一轮复习数学:7.2两直线的位置关系教案含习题及答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新版高考第一轮复习数学:7.2两直线的位置关系教案含习题及答案(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 17.2 两直线的位置关系知识梳理1.平行与垂直若直线l1和l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则(1)直线l1l2的充要条件是k1=k2且b1b2.(2)直线l1l2的充要条件是k1k2=1.若l1和l2都没有斜率,则l1与l2平行或重合.若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0,则l1l2.2.相交(1)两条直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2相交得到两类角:“到角”和“夹角”.到角:直线l1到l2的角是指l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角.设l1到l2的角为1,l2到l1的角为2,则有1(0,),2(0,),且1+2=.当k1k
2、21时,有公式tan1=.当k1k2=1时,l1l2,1=2=.夹角:l1到l2的角1和l2到l1的角2中不大于90的角叫l1和l2的夹角.设为,则有(0,当时,有公式tan=|.如果直线l1和l2中有一条斜率不存在,“到角”和“夹角”都可借助于图形,通过直线的倾斜角求出.的解一一对应.(2)交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0 相交方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解;平行方程组无解.重合方程组有无数解.3.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.两平行线l1:Ax+
3、By+C1=0和l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=.点击双基1.点(0,5)到直线y=2x的距离为A. B. C. D.解析:a=.答案:B2.三直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2xy=10相交于一点,则a的值是A.2 B.1 C.0 D.1解析:解方程组4x+3y=10,2xy=10, 得交点坐标为(4,2),代入ax+2y+8=0,得a=1.答案:B3.直线x+y1=0到直线xsin+ycos1=0()的角是A. B. C. D. 解析:由tan=tan()=tan(),0,=.答案:D4.已知点P是直线l上的一点,将直线l绕点P逆时针方向旋转角(090),所得直线方程是x
4、y2=0,若将它继续旋转90角,所得直线方程是2x+y1=0,则直线l的方程是_.解析:直线l经过直线xy2=0和2x+y1=0的交点(1,1),且又与直线2x+ y1=0垂直,l的方程为y+1=(x1),即x2y3=0.答案:x2y3=05.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a1)y+(a21)=0平行且不重合,则a的值是_.解析:利用两直线平行的条件.答案:1典例剖析【例1】 等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x2y2=0,底边所在直线l2的方程是x+y1=0,点(2,0)在另一腰上,求该腰所在直线l3的方程.剖析:依到角公式求出l3的斜率,再用点斜式可求l3的方程.解:设l
5、1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,l1到l2的角是1,l2到l3的角是2,则k1=,k2=1,tan1=3.l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形,1=2,tan1=tan2=3,即=3,=3,解得k3=2.又直线l3经过点(2,0),直线l3的方程为y=2(x+2),即2xy+4=0.评述:本题根据条件作出合理的假设1=2,而后利用直线到直线所成角的公式,最后利用点斜式,求出l3的方程.思考讨论 用夹角公式会产生什么问题,怎样去掉增解?【例2】 已知两直线l1:xm2y60,l2:(m2)x3my2m0,当m为何值时,l1与l2(1)相交;(2)平行;(3)重合?剖析:依据两直
6、线位置关系判断方法便可解决.解:当m=0时,l1:x60,l2:x0,l1l2.当m=2时,l1:x4y60,l2:3y20,l1与l2相交.当m0且m2时,由得m=1或m=3,由得m3.故(1)当m1,m3且m0时,l1与l2相交;(2)当m1或m0时,l1l2;(3)当m3时,l1与l2重合.评述:对这类问题要从有斜率、没斜率两方面进行考虑.深化拓展 不讨论有斜率、没斜率能直接求解吗?【例3】 已知点P(2,1),求:(1)过P点与原点距离为2的直线l的方程;(2)过P点与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说
7、明理由.剖析:已知直线过定点求方程,首先想到的是求斜率或设方程的斜截式,但不要忘记考察斜率不存在的直线是否满足题意.若满足,可先把它求出,然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决.解:(1)过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2,1),可见,过P(2,1)垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x2),即kxy2k1=0.由已知,得=2,解之得k=.此时l的方程为3x4y10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x4y10=0.(2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直
8、的直线,由lOP,得klkOP =1,所以kl =2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x2),即2xy5=0,即直线2xy5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为=.(3)由(2)可知,过P点不存在到原点距离超过的直线,因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.评述:第(3)问是判断存在性问题,通常的解决方法是先假设判断对象存在,令其满足应符合的条件,若有解,则存在,并求得;若无解,则不存在,判断无解的过程就是结论的理由.如(3)解法二:由于斜率不存在且过P点的直线到原点距离不是6,因此,设过P点到原点距离为6的直线的斜率存在且方程为y+1=k(x2),即kxy2k1=0.原点O到它的
9、距离d=6,即32k24k+35=0.因=16432350,故方程无解.所以不存在这样的直线.闯关训练夯实基础1.(2004年全国卷,3)过点(1,3)且垂直于直线x2y+3=0的直线方程为A.2x+y1=0 B.2x+y5=0C.x+2y5=0 D.x2y+7=0解析:由已知直线的斜率为,知所求直线的斜率为2.由点斜式得所求直线方程为2x+y1=0.答案:A2.若直线y=|x|与y=kx+1有两个交点,则k的取值范围是_.解析:y=|x|是第一、二象限角的平分线,直线y=kx+1是过定点(0,1)的直线系方程.由图象易知1k1.答案:1k13.ABC中,a、b、c是内角A、B、C的对边,且l
10、gsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,则下列两条直线l1:(sin2A)x+(sinA)ya=0,l2:(sin2B)x+(sinC)yc=0的位置关系是_.解析:由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC,得lg(sinB)2=lg(sinAsinC).sin2B=sinAsinC.设l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0=,=,=,=,l1与l2重合答案:重合4.求过点P(5,2),且与直线xy+5=0相交成45角的直线l的方程.解:(1)若直线l的斜率存在,设为k,由题意,tan45=|,得k=0,所求l的直线方程为y=2.(2)若直线l的斜率不
11、存在,则直线l的方程为x=5,且与直线xy+5=0相交成45角.综合(1)(2),直线l的方程为x=5或y=2.5.已知ABC的两条高线所在直线的方程为2x3y+1=0和x+y=0,顶点A(1,2),求:(1)BC边所在直线的方程;(2)ABC的面积.解:(1)A点不在两条高线上,从而AB、AC边所在直线方程为3x+2y7=0,xy+1=0.C(2,1)、B(7,7).边BC所在直线方程是2x+3y+7=0.(2)BC,点A到边BC的高为h,从而ABC的面积是3培养能力6.光线从A(3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射线恰好过点D(1,6),求BC
12、所在直线的方程.解法一:如下图所示,依题意,B点在原点O左侧,设坐标为(a,0),由入射角等于反射角得1=2,3=4,kAB=kBC.又kAB=(a3),kBC=.BC的方程为y0=(xa),即4x(3+a)y4a=0.令x=0,解得C点坐标为(0,),则kDC=.3=4,=.=.解得a=,代入BC方程得5x2y+7=0.解法二:点A关于x轴的对称点为A(3,4),点D关于y轴的对称点为D(1,6),由入射角等于反射角及对顶角相等可知A、D都在直线BC上,BC的方程为5x2y+7=0.7.在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(原点除外)上给定两点A(0,a)、B(0,b)(ab0).试在x轴的正半轴(原点除外)上求点C,使ACB取得最大值,并求出这个最大值.解:由题意作下图,设C(x,0),其中x0又A(0,a),B(0,b)(ab0),则kAC,kBC.tanACB =此时x时取等号.故所求点C(,0),最大值为arctan8.(理)已知过点A