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1、圆锥曲线极坐标方程焦半径公式焦点弦公式.圆锥曲线的极坐标方程极坐标办理二次曲线问题教学设计知识点精析椭圆、双曲线、抛物线能够统必定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延伸线为极轴成立极坐标系ep椭圆、双曲线、抛物线一致的极坐标方程为：.当 1ecos此中p是定点F到定直线的距离，p00e1时，方程表示椭圆；e1时，方程表示双曲线，若0，方程只表示双曲线右支，若允0，方程就表示整个双曲线；e=1时，方程表示张口向右的抛物线.引论（1）若ep1+ecos0
2、e1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=1不时，方程表示张口向左的抛物线当e1方程表示极点在左焦点上的双曲线（2）若ep1-esin0e1时，方程表示极点在下焦点的椭圆当 e=1时，方程表示张口向上的抛物线;.当e1时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3）ep1+esin0e1时，方程表示极点在上焦点的椭圆e=1时，方程表示张口向下的抛物线e1时!方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.确立方程10表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。53cos2310解法一：5313cos13cos55e3，P1053c33ac25a55a8b2105c1015c3a3c38b
3、(25)2(15)25882方程表示椭圆的离心率3，焦距15长轴长25，短轴长5e4，45解法二：依据极坐标的定义，对右极点对应点的极角为0，所以只要0，右极点的极径，同理可得左极点的的极径。依据左右极点极径之和等于长轴长，便能够求出长轴。点睛，解法一采纳待定系数法比较惯例，解法二利用极坐标的定义，简短而有力，充足表现了极坐标办理问题的优势。下边的弦长问;.题的解决使极坐标办理的优势显的酣畅淋漓。（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，1、椭圆中，pa2cb2，MNep1ep)a22ab2.cc1ecosecos(c2cos22、双曲线中，（说明：双曲线问题比较特别，好多参照书上均
4、有误会。）若M、N在双曲线同一支上，MNepep2ab2；ecos1ecos()a2c2cos21若M、N在双曲线不一样支上，MNepep2ab2.ecos1ecosc2cos2a213、抛物线中，MNpp2p1cos1cos()sin2例1过双曲线x2-y21的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与453A、B两点，求AB解：依据题意，成立以双曲线右焦点为极点的极坐标系5即得23cos所以A(1,),B(2,)33又由AB|12|5580得|23cos(|723cos)33说明：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对v加绝对值，但求双曲线的弦长时，必定要加绝对值，这是防止议论做好的方法。点睛因为
5、椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正当,所以弦长都是1;2关于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正当,所以弦长也是1;2关于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正当一个为负值,所以弦长是-12或;.为一致同见，求双曲线时一律加绝对值，使用12变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为的直6线，交双曲线于A,B两点，求AB求AB解：112cosA(1,),B(2,)66AB|12|1122|2cos（）1|12cos()262666附录直角坐标系中的焦半径公式设P（x,y）是圆锥曲线上的点，1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1aex，PF2aex
6、；2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，PF1exa，PF2exa；当点P在双曲线左支上时，PF1aex，PF2aex；3、若F是抛物线的焦点，PFxp.2利用弦长求面积高考题（08年海南卷）过椭圆x2y21的焦点F作一条斜率为2的544直线与椭圆交于，B两点，O为坐标原点，求AOB的面积A简解第一极坐标方程中的焦点弦长公式2ep求弦长，而后|AB|cos211e2利用公式SAOBAFO直接得出答案。|AB|OF|sin2;.变式(2005年全国高考理科)已知点F为椭圆x2y21的左焦点.过点2F的直线l1与椭圆交于P、Q两点，过F且与l1垂直的直线l2交椭圆于M、
7、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.分析以点F为极点，成立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：221 2cos2设直线l1的倾斜角，则直线l2的倾斜角为900，由极坐标系中焦点弦长公式知：|PQ|2，|MN|221cos21cos2(900)11sin211222用他们来表示四边形的面积S1|PQ|MN|111121221222sincos2sin4161即求的最大值与最小值1 1sin222 16由三角知识易知：当sin21时，面积获得最小值16；当sin20时，9面积获得最大值2利用弦长公式解决常量问题x2y21(ab0)例一过椭圆a2b2的左焦点F，作倾斜角为60的直线l交椭圆于A
8、、B两点，若FA2FB，求椭圆的离心率.简解，成立极坐标系，而后利用等量关系，可很快求出离心率。;.设椭圆的极坐标方程为ep则FAep,FBep1ecos1ecos6001ecos2400，ep2ep，解得e2；ee31122变式求过椭圆2的左焦点，且倾斜角为的弦长AB和左焦3cos4点到左准线的距离。2解：先将方程化为标准形式：311cos3则离心率e1，ep2，33p2所以左焦点到左准线的距为2。设A(1,),B(2,5)，代入极坐标方程，则弦长44AB1222243cos5173cos44（3）定值问题例1.抛物线y22px(p0)的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，证明：11定值。ab解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴成立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为p，设A(a,),B(b,)cos1将A,B两点代入极坐标方程，得ppa,b1cos1cos()则11=1cos1cos()=2（定值）abppp;.点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有112MFNFep例二：经过椭圆的的焦点作两条互相垂直的弦AB和弦CD,求证11为定ABCD值。证明：以椭圆的左焦点成立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为ep，1ecos又设A1,1,B2,+,C3,2+,D4,3+则代入可得2|AB|2ep，|AB|2ep则
