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1、-浅谈导数的应用摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的根底，是研究现代科学技术中必不可少的工具我们要明确导数的涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的涵和本质，使人们对导数的容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程 关键词：极限;导数;微分Shallowly Discusses the Applicatio
2、n of Derivative Abstract:To study e*tremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acqui
3、re the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle
4、school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen peoples understanding in math and help to simplify peoples derivative.Key words:Limit; Derivative; Differential0 引 言导数来源于人类的社会实践，效劳于人类的社会实践，导数是人类进一步学习数学和其他自然科学的根底，用导数来研究函数的性
5、质，是研究现代科学技术中必不可少的工具导数是在极限概念的根底上建立起来的，是微分学的一个重要概念，也是一个重要的解题方法.学习导数知识可以在实际应用中快速简洁的求曲线的切线方程.导数还是对函数图像与性质的总结和概括，是研究函数单调性的最正确的重要工具，是初等数学和高等数学的重要衔接点导数还可以解决生产和生活中的最优决策和最优设计问题，即最大值、最小值问题1 导数的产生和开展导数概念是根据解决实际问题的需要，在极限的根底上建立起来的，它是微分学中最重要的概念而微分是微分学中又一个重要的概念，它与导数有密切的关系，两者在科学技术中有着广泛的应用我们知道在一定条件下一个函数在*点可导和可微是等价的，
6、大局部高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前，哪个概念产生在后呢.1.1 微分概念的导出背景当一个函数的自变量有微小的改变时，它的因变量一般来说也会有一个相应的改变微分的原始思想在于寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比拟准确的估计出这个改变量我们来看一个简单的例子：维持物体围绕地球作永不着地理论上的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度在中学里利用计算向心加速度的方法已经求出这种速度为79千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它设卫星当前时刻在地球外表附近的点沿着水平方向飞行，假设没有外力影响的
7、话，则它在一秒钟后本应到达点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的而是点=49米是自由落体的物体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离容易看出，如果点与地心的距离是相等的，则由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿着地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球飞行了因此，卫星应具有的最小飞行速度恰好在线段的长度是直角三角形，和可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理即可求其加速度1.2 产生导数的实际背景从数学的开展历史来看，导数是伴随微分的诞生而顺理成章的产生的也就是说，人们先有了微分的概念，随后才发现，对于处理微分问题来说，像这么一种特定形式的
8、极限，即导数，是一个有力的工具从法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，但与导数概念直接联系的是以下两个问题：运动规律求速度和曲线求它的切线这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的用导数思想来处理微分问题因为一方面，从微分的形式来看，在比拟复杂的情况下比方高阶的微分和导数以及多元函数的微分和导数等，无论是形式的思考还是实际的处理问题由导数入手都要比由微分入手更容易和简单一些，并且导数有它本身的意义，在数学的理论及其实际应用方面都扮演着重要的角色1.3 导数的概念1、函数在点处的导数可以写成以下形式：2、导数的物理意义和几何意义:函数在点处的导数是函
9、数在该点处的平均变化率的极限，因而它反映了客观运动的瞬时变化率在几何学上，在*点处的导数表示函数的图形在点处的切线斜率，即，其中是过点的切线的倾角2 导数的应用2.1 导数在中学数学中的应用在中学数学中，常利用导数的几何意义来求曲线的切线方程，还会用到导数的单调性以及用导数求极值点和最值的问题由此可见，导数在中学数学中的应用是十分广泛的，不妨通过以下例题来说明例1 数列；，问数列中是否有最大项.假设有，请求出最大项；假设没有，请说明理由解 因为数列是一种特殊的函数关系，是离散的，不能直接求导所以可设 ，同时取对数后求导可得，令，得；当时，；当时，且有唯一解；当时，最大；故或时，最大； 2.11
10、 利用导数求曲线的切线方程归纳起来有两种问题类型，下面我们来系统的分析一下怎么解决这类问题情况一：设为可导函数，求过点作：的切线方程(1)假设，；即则，过的切线方程为(2)假设，即可设切点，则过的切线方程为，此切线过于是可由解出因而过的切线方程为 或情况二：设，为可导函数，曲线：与曲线：相切，求切线方程解：由于两曲线，相切，必须假设公切点满足，即 (1) (2)又因为两曲线在公切点处切线的斜率相等，即 (3)解(1)(2)(3)式，可得公切点坐标，从而求得公切线方程2.12三角函数的问题此类问题同样可以用导数的思想来解决例如，可以利用导数求三角函数的周期，还可以判断其奇偶性，以及求其单调区间等
11、下面先考虑两个结论：(1)可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数证明：设是可导的偶函数，有且即 ；所以 ；即有的导数为奇函数同理可证奇函数的导函数是偶函数(2)可导的周期函数，其导数仍是周期函数且原函数的周期是导数的一个周期证明：设为可导的周期函数，其周期为，根据周期定义有：，于是有例2 设函数，图像上一条对称轴是直线， (1)：求;(2)：求函数的单调区间;(3)：证明直线与函数的图像不相切解(1)因为，又因为图像的一条对称轴是直线；知，则有所以； =1，2，又 ，所以(2)由前问而考虑到端点值有，即函数的斜率的取值围为，而直线的斜率为，则直线与曲线的图像不相切数学是具有
12、高度抽象性和概括性的学科，通过导数可以培养学生的科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，可以使学生养成严格的推理习惯和全面分析问题的能力2.2 导数在高等数学中的应用2.21 利用洛必达法则、泰勒公式求极限例3 求极限解 因为 而利用洛必达法则 利用洛必达法则求极限要注意以下几点：验证所求的极限式是不是或型如果不是，要将其转化为或型；在求极限之前，应首先利用等价无穷小代换或通过其他变形如有理化、变量代换把未定式代换成最简式；洛必达法则可以反复屡次使用，只要满足其前提条件即可；如果不存在，不能判定也不存在2.22 利用函数单调性、中值定理、泰勒公式、最值证明不等式此类问题的解决方法两种思路
13、：(1)利用函数的单调性将要证明的不等式的右端的所有项全部移到左端，把其中的*个字母比方改为，并把左端的函数记为，利用函数的单调性证明或假设要证明的不等式是，一般是构造函数，利用的符号判断它的单调性(2)证明数列极限形式，须将离散变量转换为连续变量，再用洛必达法则如下所示：例4 求极限解 先求函数极限，取对数后的极限式为 所以有归结原则可得 =2.23 函数极值及相关问题例5设在上二阶可导且，;证明 存在，使得证明 有题设和欲证的结论，可以将辅助函数设成,则就存在,使得,同理存在使得, 则，故在取得最大值2.3 导数在经济学中的应用2.31 常见的经济函数需求函数是指消费者在一定价格条件下对商
14、品的需求，一种商品的需求量与该商品的价格密切相关如果不考虑其他因素的影响，则商品的需求量可以看作是价格的函数即需求函数需求量随价格的上升而减少供给函数是指在*一时期，生产者在一定价格条件下，愿意并可能出售的产品；一种商品由生产者向社会提供的数量与该商品价格有关在不考虑其他因素的条件下，商品的供给量也可以看作是价格P的函数也就是供给函数例6厂商的总收益函数和总本钱函数分别为和， 政府对产品的征税.求:(1)厂商纳税前的最大利润及此时的产量和价格.(2)征税收益的最大值及此时的税率t(3)厂商纳税后的最大利润及此时的产品价格解 (1)纳税前的利润函数为， 当时，利润最大；且;此时价格(2)纳税后的
15、总本钱函数为;税后利润函数为;获得最大利润的条件是，由 得;经过纳税后的最大利润的产量为;于是征税的收益函数为，求最大值即可当此时征税的收益最大，其值为(3)纳税后利润函数当，时，最大利润 此时产品的价格为例7新产品的推销与广告.1新产品的推销：一种新产品问世，经营者要关心产品的卖出情况，下面我们根据两种不同的假设来估算两种推销的速度：假设1：假设产品以自然推销的方式卖出换句话说，被卖出的产品实际上起着宣传作用，吸引着未购置的消费者设产品总数与时刻的关系为，再假设每一产品在单位时间平均吸引位顾客，则满足微分方程 (4)设初始条件为 (5)则易得到上述微分方程的解为 (6)这是指数假设，下面我们对结果(6)式进展分析
