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1、第21讲 参数估计习题课第21讲 参数估计习题课教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。教学时数：2学时。教学过程：一、知识要点回顾1. 矩估计 用各阶样本原点矩 EMBED Equation.3 作为各阶总体原点矩 EMBED Equation.3 的估计, EMBED Equation.DSMT4
2、。若有参数 EMBED Equation.3 ，则参数 EMBED Equation.3 的矩估计为 EMBED Equation.3 。2. 最大似然估计似然函数 EMBED Equation.3 ，取对数 EMBED Equation.3 ，从 EMBED Equation.DSMT4 =0中解得 EMBED Equation.3 的最大似然估计 EMBED Equation.3 。3. 无偏性,有效性当 EMBED Equation.3 时，称 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 的无偏估计。 当 EMBED Equation.3 时，称估计量 EMB
3、ED Equation.3 比 EMBED Equation.3 有效。4. 正态总体参数的区间估计 EMBED Equation.3 ,当 EMBED Equation.3 已知时， EMBED Equation.DSMT4 置信水平为 EMBED Equation.DSMT4 的置信区间为 EMBED Equation.3 ；当 EMBED Equation.3 未知时， EMBED Equation.DSMT4 的置信水平为 EMBED Equation.DSMT4 的置信区间为 EMBED Equation.3 。当 EMBED Equation.3 已知时， EMBED Equati
4、on.DSMT4 的置信水平为 EMBED Equation.DSMT4 的置信区间为 EMBED Equation.3 ；当 EMBED Equation.3 未知时， EMBED Equation.DSMT4 的置信水平为 EMBED Equation.DSMT4 的置信区间为 EMBED Equation.3 ，其中 EMBED Equation.3 一般写为 EMBED Equation.3 。5. 两个正态总体均差值的区间估计当 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 已知时, EMBED Equation.DSMT4 的置信水平为 EMBED Equ
5、ation.DSMT4 的置信区间为 EMBED Equation.3 当 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 未知时, EMBED Equation.DSMT4 的置信水平为 EMBED Equation.DSMT4 的置信区间为 EMBED Equation.3 6. 两个正态总体方差比的区间估计 EMBED Equation.3 的置信水平为 EMBED Equation.DSMT4 的置信区间为 EMBED Equation.3 。二 、典型例题解析1设 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，求 EMB
6、ED Equation.3 的矩估计。解 EMBED Equation.3 设 EMBED Equation.3 则 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 故 EMBED Equation.3 ，所以 EMBED Equation.3 。2. 设总体 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.3 上服从均匀分布，求a和b的矩估计。解 由均匀分布的数学期望和方差知 EMBED Equation.3 （1） EMBED Equation.3 （2）由（1）解得 EMBED Equation.3 ，代入（2）得 EMBED Equa
7、tion.3 ， 整理得 EMBED Equation.3 ，解得 EMBED Equation.3 故得 EMBED Equation.3 的矩估计为 EMBED Equation.3 其中 EMBED Equation.3 。3设总体 EMBED Equation.DSMT4 的密度函数为 EMBED Equation.DSMT4 ，求 EMBED Equation.3 的最大似然估计。解 设 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 设总体 EMBED Equation.DSMT4 的密度函数 EMBED Equation
8、.3 已知），求参数 EMBED Equation.3 的最大似然估计。解 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 解得 EMBED Equation.3 。5. 设 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 为参数 EMBED Equation.3 的两个独立的无偏估计量，且假定 EMBED Equation.3 ，求常数 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 ，使 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 的无偏估计，并使方差 EMBE
9、D Equation.3 最小。解 由于 EMBED Equation.3 ,且知 EMBED Equation.3 ，故得c+d=1。又由于 EMBED Equation.3 并使其最小，即使 EMBED Equation.3 ，满足条件c+d=1的最小值。令d=1-c，代入得 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 解得 EMBED Equation.3 。6对方差 EMBED Equation.3 为已知的正态总体来说，问需取容量n为多大的样本，才能使总体均值 EMBED Equation.3 的置信水平为 EMBED Equation.3 的置信区间的长
10、度不大于L？解 由于 EMBED Equation.3 的置信区间为 EMBED Equation.3 ，故 EMBED Equation.3 的置信区间长度为 EMBED Equation.3 。所以，有 EMBED Equation.3 ，即 EMBED Equation.3 。7. 设某电子元件的寿命服从正态分布 EMBED Equation.3 ，抽样检查10个元件，得样本均值 EMBED Equation.3 ，样本标准差 EMBED Equation.3 。求 (1) 总体均值 EMBED Equation.3 置信水平为 EMBED Equation.3 的置信区间； (2) 用
11、 EMBED Equation.3 作为 EMBED Equation.3 的估计值，求绝对误差值不大于10（h）的概率。解 (1)由于 EMBED Equation.3 未知，s=14（h）,根据求置信区间的公式得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 查表得 EMBED Equation.3 ，故总体均值 EMBED Equation.3 置信水平为 EMBED Equation.3 的置信区间为 EMBED Equation.3 (2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 1-0.05=0.958. 设 EMBED Equat
12、ion.3 为正态总体 EMBED Equation.3 的一个样本，确定常数 EMBED Equation.3 的值，使 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 的无偏估计。解 EMBED Equation.3 由于 EMBED Equation.3 ，所以有 EMBED Equation.3 由 EMBED Equation.3 （无偏性），故有 EMBED Equation.3 ，所以 EMBED Equation.3 。9. 为了解灯泡使用时数均值 EMBED Equation.3 及标准差 EMBED Equation
13、.3 ，测量了10个灯泡，得 EMBED Equation.3 小时， EMBED Equation.DSMT4 小时。如果已知灯泡使用时间服从正态分布，求 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 的95%的置信区间。 解 由 EMBED Equation.3 ，根据求置信区间的公式得 EMBED Equation.3 查表知 EMBED Equation.3 ，根据求置信区间的公式得 EMBED Equation.DSMT4 的置信区间为 EMBED Equation.3 而 EMBED Equation.DSMT4 的置信区间为 EMBED Equation.3 10. 岩石密度
