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1、#姓名：方法一：用线线平行实现。llllm直线和平面的三种位置关系：mua,l/la1.线面平行方法二：用面面平行实现。2.线面相交ap；lllalupJ方法三：用平面法向量实现。符号表示：若n为平面a的一个法向3.面面平行：二平行关系：1.线线平行：lllaluPanPmlm方法二：用面面平行实现。_lallPYnalmYn卩mlllm方法三：用线面垂直实现。若l丄a,m丄a，贝ijlllm。方法四：用向量方法：量，n丄l且lwa,则l/a。方法一：用线线平行实现。方法一：用线面平行实现。llllmllml,muP且相交l,mua且相交allP方法二：用线面平行实现。三垂直关系：1.线面垂直
2、：lllam/aJl,muP且相交,方法一：用线线垂直实现。l丄ACallP若向量l和向量m共线且l、ml丄ABACnABAAC,ABua丿#方法二：用面面垂直实现。步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理）2.面面垂直：,P、cR=ml,l丄m,luP余弦定理：方法一：用线面垂直实现。/丄叫lupJa2+bic2cosU=2ab（计算结果可能是其补角）方法二：向量法。（二）线面角转化为向量的夹角（计算结果可能是其补角）：cAB-ACcosU二IAB-IAC#方法二：计算所成二面角为直角。（1）定义：直线l上任取一点P（交点除外），作#3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。PO丄于O,连结AO
3、,则AO为斜线PA在面内的射影，zpao（图中e）为直线l与面所成的角。#l,nl丄mmuaj方法二：三垂线定理及其逆定理。#方法三：用向量方法：n-APn-APPO丄、l丄OAl丄PAlU若向量l和向量m的数量积为0,则l丄m。三夹角问题。（一）异面直线所成的角：（1）范围：（0。,90。（2）求法：方法一：定义法。步骤1：平移,使它们相交,找到夹角。（2）范围：0,90。当。=0时，lU或l/当。=90时，l丄（3）求法：方法一：定义法。步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。方法二：向量法（n为平面的一个法向量）。sin0二cosn,AP#方法二：坐标法。（三）二面角及
4、其平面角（1）定义：在棱l上取一点P,两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n,贝I射线m和n的夹角为二面角Q一1一,的平面角。（2）范围：0。,180。（3）求法：方法一：定义法。步骤1：作出二面角的平面角（三垂线定理）,并证明步骤2：解三角形,求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面a和,四距离问题。1点面距。方法一：几何法。步骤1：过点P作PO丄a于O,线段PO即为所求。步骤2：计算线段PO的长度。（直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法）d=|Ap-cosn-APn-AP2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。
5、#则交线（射线）AP和AO的夹角就是二面角。#步骤2：解三角形,求出二面角。方法三：坐标法（计算结果可能与二面角互补）。步骤一：12nn12如图，m和n为两条异面直线，nua且m/a，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面a之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。#步骤二：判断与兀可的关系可能相等或如图，AD是异面直线m和n的公垂线段m/m，则异面直线m和n之间的距离为：#者互补。d-c2a2b2土2abcos#五空间向量（一）空间向量基本定理角分别为Q、卩、,则cos2acos2pcos2=#若向量a,b,c为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量P，都存
6、在唯一的有序实数对x、y、z，使得p=xaybzc。（二）三点共线，四点共面问题1. A，B，C三点共线，OA=xOB+yOC，且x+y=11当x=y=时，A是线段BC的A，B，C三点共线，AB=九AC2. A，B，C，D四点共面，OA=xOB+yOC+zOD，且x+y+z=11当x=y=z=3时，是厶的A，B，C，D四点共面AB=xACyAD（三）空间向量的坐标运算1. 已知空间中A、B两点的坐标分别为：A（x,y,z），B（x,y,z）则：111222AB=d=A,B2. 若空间中的向量a=（x,y,z），b=（x,y,z）111222贝a+b=a-b=a-b=cos=六常见几何体的特征及
7、运算（一）长方体1. 长方体的对角线相等且互相平分。2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为a、卩、,则cos2acos2pcos2=若长方体的长宽高分别为、，则体对角线长为，表面积为，体积为。（二）正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。（三）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。（四）正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。（只有五种正多面体）（五）棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。（六）体积：V=V=棱柱棱锥（七）球1. 定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2. 设球半径为R,小圆的半径为r，小圆圆心为O,球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是。3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。球的表面积公式：体积公式：#
