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1、第四章矩阵习题参考答案判断题1 .对于任意n阶矩阵A, B,有|A B |A |B .错._t i-Tt02 .如果A 0,则A 0.，11c ，一错.如 A, A2 0,但A 0.113 .如果A A2 E ,则A为可逆矩阵.正确.A A2 E A(E A) E,因止匕A可逆，且A1 A E.4 .设A,B都是n阶非零矩阵，且AB 0,则A,B的秩一个等于n, 一个小于n.错.由AB 0可得r(A) r(B) n.若一个秩等于n ,则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.2,，一,有 AB AC,但 B C. 25 . A,B,C为n阶方阵，若AB AC,则
2、B C.11213错.如A,B,C112136 . A为m n矩阵，若r(A)s,则存在m阶可逆矩 阵P及n阶可逆矩阵Q ,使PAQIs 00 0正确.右边为矩阵A的等价标准形，矩阵A等价于其标准形.7 . n阶矩阵A可逆，则A*也可逆.1正确.由A可逆可得| A| 0 ,又AA* A* A | A| E .因此A*也可逆，且(A*) 1 A.|A|8 .设A,B为n阶可逆矩阵，则(AB)*B*A*.正确.(AB)(AB)* |AB|E |A|B|E.又(AB)(B*A*) A(BB*)A* A|B|EA* |B | AA* |A|B|E.因此(AB)(AB)* (AB)(B* A*).由A,
3、B为n阶可逆矩阵可得AB可逆，两边同时左乘式AB的逆可得(AB)* B* A* .二、 选择题1 .设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(BTB),则下列矩阵中为反对称矩阵的是(B).(A) AB BA (B) AB BA (C) (AB)2(D) BAB(A)(D)为对称矩阵，(B)为反对称矩阵，(C)当A,B可交换时为对称矩阵.2 .设A是任意一个n阶矩阵，那么(A)是对称矩阵.(A) AT A(B) A AT (C)A2(D)AT A3 .以下结论不正确的是(C )(A)如果A是上三角矩阵，则A也是上三角矩阵；(B)如果A是对称矩阵，则 A2也是对称矩阵；(C)如果A是反对称矩阵，则A
4、2也是反对称矩阵；(D)如果A是对角阵，则A2也是对角阵.4. A是m k矩阵，B是k t矩阵，若B的第j列元素全为零，则下列结论正确的是(B )(A) AB的第j行元素全等于零； (B) AB的第j列元素全等于零；(C) BA的第j行元素全等于零； (D) BA的第j列元素全等于零；5 .设A,B为n阶方阵，E为n阶单位阵，则以下命题中正确的是(D )22222(A) (A B) A 2AB B (B) A B (A B)(A B)22222(C) (AB) A B (D) A E (A E)(A E)6.下列命题正确的是(B ).(A)若 AB AC ,则 B C(B) 若 AB AC ,
5、且 A 0,贝U B C(C)若 AB AC ,且 A 0 ,则 B C(D)若 AB AC ,且 B 0,C 0 ,则 B C7 . A是m n矩阵，B是n m矩阵，则(B)(A)当m n时，必有行列式AB 0;(B)当m n时，必有行列式| AB 0(C)当n m时，必有行列式| AB 0 ;(D)当n m时，必有行列式|AB 0.AB 为 m 阶方阵，当 m n 时，r (A) n, r(B) n,因此 r(AB) n m ,所以 AB 0.8 .以下结论正确的是(C )(A)如果矩阵A的行列式A 0,则A 0 ;(B)如果矩阵A满足A2 0 ,则A 0;(C) n阶数量阵与任何一个n阶
6、矩阵都是可交换的；(D)对任意方阵 A, B,有(A B)(A B) A2 B29.设1, 2, 3, 4是非零的四维列向量，A ( 1, 2, 3, 4), A*为A的伴随矩阵，已知Ax 0的基础解系为(1,0,2,0)T ,则方程组A*x 0的基础解系为(C ).(A)1,2 ,3 .(B)12 , 23 , 31 .(C)2 ,3 ,4 .(D)12 , 23, 34 ,41 .1由 Ax 0的基础解系为(1,0,2,0)T可得(1, 2, 3, 4)00, 1 2 3 0.20因此(A), (B)中向量组均为线性相关的，而(D)显然为线性相关的，因此答案为(C).由可得1, 2, 3,
7、 4均为A*x 0的解.10 .设A是n阶矩阵，A适合下列条件(C )时，In A必是可逆矩阵(A) An A (B)A 是可逆矩阵 (C) An 0(B) A主对角线上的元素全为零11 . n阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是(D )(A) A 1 (B) A 0 (C) A AT (D) A 012 . A,B,C均是n阶矩阵，下列命题正确的是(A )(A)若A是可逆矩阵，则从 AB AC可推出BA CA(B)若A是可逆矩阵，则必有 AB BA(C)若A 0,则从AB AC可推出B C(D)若B C ,则必有AB AC13 . A,B,C均是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若ABC E ,则有
8、(C )(A) ACB E(B) BAC E(C) BCA E (D) CBA E14 . A是n阶万阵，A是其伴随矩阵，则下列结论错误的是( D )(A)若A是可逆矩阵，则A也是可逆矩阵;(B)若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵;(C)若A 0,则A是可逆矩阵；(D) AA |A.15 .设A是5阶方阵，且1A 0,则A*(D )234(A) A (B) A (C) A (D) A16 .设A是A (aj)n n的伴随阵，则A A中包于(i, j)的兀素为(B )nnnn(A)a jk Aki (B)akj Aki(C)ajk Aik (D)akiAkjk 1k 1k 1k 1应为A的第
9、i列元素的代数余子式与A的第j列元素对应乘积和.a11La1n17.设 AL L Lan1 LannAilLLAn1LA1nL ,其中Aj是aj的代数余子式，则(C )Ann(A) A是B的伴随(B)B是A的伴随(C) B是A的伴随(D)以上结论都不对18.设A,B为方阵，分块对角阵A 0*C，则C ( C )0 B(A) C*A 0*0 B(B)*A A 0C*0 B B小、b a 0 小、Aba 0(C) C*(D) C 个*0 AB0 ABB利用CC* |C|E验证.19.,下列运算可行的是（C ）4 61已知A,B122(A) A B (B)A B (C) AB (D) AB BA20
10、 .设A,B是两个m n矩阵，C是n阶矩阵，那么（D21 .对任意一个n阶矩阵A,若n阶矩阵B能满足AB BA ,那么B是一个（C（A）对称阵（B）对角阵（C）数量矩阵 （D）A的逆矩阵与任意一个n阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22 .设A是一个上三角阵，且 A 0,那么A的主对角线上的元素（ C ）（A）全为零（B）只有一个为零（C）至少有一个为零（D）可能有零，也可能没有零1 3,23 .设 A 1 3 ,则 A12 024.111100002(B)3(C)3(D)21111111136362636a1b1Ga1C1 2b1a 2bzc2 ,若 APa?c2 2b2,则P(B )a3b3
11、c3a3C3 2b3(A)设A1 0 0(A) 0 0 10 2 0100(B) 002010001(C) 020100200(D) 00101025.设n(n 3)阶矩阵A1a a L a 1aL a a 1 L L L L L a a a Laaa ,若矩阵A的秩为1,则a必为(A )L1,、，、1, 、1(A)1(B) -1(C) (D)1 nn 1矩P$ A的任意两行成比例.26.设A, B为两个n阶矩阵，现有四个命题：若A,B为等价矩阵，则A, B的行向量组等价；若A, B的行列式相等，即| A| |B |,则A,B为等价矩阵;若Ax 0与Bx 0均只有零解，则A, B为等价矩阵；若
12、A,B为相似矩阵，则Ax 0与Bx 0解空间的维数相同以上命题中正确的是(D )(A)，.(B)，.(C)，.(D)，.当B P1AP时，A,B为相似矩阵。相似矩阵的秩相等。齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数。三、填空题1 .设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，有 A 2,则(1A) 2 35.设 A0 2 3 ,则(A*) 1 1A.60 0 3一 2A*,“1A | A|A 1 2A 1 , (-A) 1 3A 1 ,因此(1 A) 1 2A* 3A 1 4A1 A1( 1)3|A 11.2 .设 A,B 为 4 阶方阵，且 |A 3,则(3A) 11/27 ,BA2B
13、1 9。3 .设A是一个m n矩阵，B是一个n s矩阵，那么是(AB)一个s m阶矩阵,它的第i行 第j列元素为ajkbki .k 14 . n阶矩阵A可逆A非退化 |A| 0A与单位矩阵等价A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积a0 0bc004.三阶对角矩阵A0b 0,则A的伴随矩阵A =0ac000c00ab0L的逆矩阵为an 100 ai 0 L00a2L6.设为 0,i 1,2,L n ,矩阵 L L L L 000Lan00L00L0an1a110L000a21L00L L L L L100 Lan 107.设A,B都是可逆矩阵，矩阵C的逆矩阵为8.设A3 4，B1 33 1,C，则
14、B(2A C)(2 42 4).9. A既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则 A为 零 矩阵.bx1c110 .设方阵Ab3X3C3nyGb2y2 c2 ,且I A 2, B3则行列式A Bb3y 3c311 .设A为m阶方阵,B为n阶方阵，已知| A a, Bb,则行列式(1)mnab.化为将A的各列依次与B的各列交换，共需要交换 mn次,12.设A为n阶方阵，且|A 0,则在A等价关系下的标准形为_n阶单位矩阵213.设 Aa （a为某常数），B为4 3的非零矩阵，且BA 0,则矩阵B的秩为1由BA 0可得A的各列为齐次线性方程组Bx 0的解，A的前两列线性无关，因此Bx 0的基础解系至少有两个解,因此
