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1、外接球专项训练参考答案一选择题1、已知球 O 的半径为 2，圆 M 和圆 N 是球的互相垂直的两个截面，圆M 和圆 N 的面积分别为 2 和，则|MN |（）A1 B 3C2D5【答案】 Dd121R2d12d 22835，故【解析】因由球心距与截面圆的半径之间的关系得2R2d 22MNd12d225 ，应选 D。考点：球的几何性质及运算。2、在三棱锥中，中点为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD【答案】 CPCBMA【解析】11,PM22132 ， 因如图, 易知 BMAC3，由余弦定理可得 PB1 3 2 323PB2AB2PA2 ，故 PBBA; 同理 PB2CB 2PC2，故 P
2、BBC ，所以 P, A, B, C 是棱长为2的正方体的四个顶点，其外接球就是正方体的外接球，半径为R32 ，所以外接球的面积为 S 466 ，24应选 C。考点：球与几何体的外接和表面积的计算公式。3、球 O 的球面上有四点 S, A, B,C ，其中 O, A, B, C 四点共面，ABC 是边长为2 的正三角形，面 SAB面ABC ，则棱锥 S ABC 的体积的最大值为（）A3B 3C 23D 43【答案】 A【解析】设球心和ABC 的外心为 O ，延长 CO 交 AB 于点 P ，则由球的对称性可知PDAB ，继而由面SAB 面 ABC 可得 PDABC 所在的平面，所以 PD 是三
3、棱锥的高；再由O, A, B,C 四点共面可知 O 是ABC 的中心，故 OP3 , R23 ，当三棱锥的体积最大时，其高为PD(2 3) 2(3)21 ，故三3333棱锥的体积的最大值为132 213 ，应选 A。343考点：几何体的外接球等有关知识的运用。【易错点晴】 球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内容。本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先确定球心 O 的位置是三角形ABC 的外心，再求外接球的半径R2 3并确3定当 PD 为三棱锥的高时，该三棱锥的体积
4、最大并算出其最大值为3 。34、已知在三棱锥PABC 中， PA面ABC，PCAB ，若三棱锥PABC 的外接球的半径是3，SS ABCS ABPS ACP ，则 S 的最大值是（）A36 B 28 C 26 D 18【答案】 D【解析】因为 PA面 ABC ，所以 PAAB，PAAC ，又因为 PCAB,所以 AB平面 PAC ，所以AB AC，所以有AB 2AC 2AP 2(2 3)236，则由基本不等式可得SS ABCS ABPS ACP1 (ABACABAPAP AC)1 (AB2AC 2AP2) 18，当且 仅当22ABACAP 时等号成立，所以S 的最大值是36, 故选 D.PAC
5、B考点： 1. 线面垂直的判定与性质；2. 长方体外接球的性质；3. 基本不等式 .【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、长方体外接球的性质、基本不等式, 中档题；立体几何的最值问题通常有三种思考方向： （1）根据几何体的结构特征，变动态为静态， 直观判断在什么情况下取得最值； （ 2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解； （3）建立函数，通过求函数的最值或利用基本不等式来求解5、如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为（）A 8B 16C 32D 64【答案】 C【解析】几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为22 ，表面
6、积为4 (2 2)232，选 C.考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点( 一般为接、切点 ) 或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径( 直径 ) 与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.6、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A 20B 8C 9D1933【答案】 D【解析】由三视图可知，这个几何体是三棱锥. 如图所示， O 为球心， F 为等边三角形 BCD 的外
7、心，由图可CF2122，故外接球面积为 19知 R2OF 23219.23123CFDOBEA考点：三视图 .【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为 x , 常见的图形有正三角形 , 直角三角形 , 矩形 , 它们的外心可用其几何性质求 ; 而其它不规则图形的外心 , 可利用正弦定理来求 . 若长方体长宽高分别为 a, b, c 则其体对角线长为a2b2c2 ; 长方体的外接球球心是其体对角线中点. 找几何体外接球球心的一般方法: 过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线, 交点即为球心 .7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（）A22B72
8、C11D233【答案】 C【解析】从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体,如图 ,其中正MNP 的边长为 4 2 , 其外接圆的半径 r14 2 ,同样正M 1 N1 P1 的外接圆的半径是 r222 , 由球的对称性可知球心O 必在正方体的对角线33AC上, 且 AO1h18 3 ,CO2h24 3 , 该球经过六个点 M,N,P,M1,N1,P1 , 设球心 O到平面99M 1N1P1 的距离为d1 ; 球心 O 到平面MNP 的距离为d2 , 而两个平面MNP 和 M 1 N1P1 之间的距离为d 43(h1h2 )4 3d1d2 , 则由球心距、垂面圆半径之间的关系可得R 2d12r12 , R 2d22r22 ,3所以d2d2r2r28, 即d2d28, 又1243 , 将其代入d2d28可得 d2 d123 , 由21221dd2113此可得 d253 ,所以 R2d 22r222583311 , 所以外接球的半径R
