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1、（一）有理数的基本概念1、正数和负数（1）、大于0的数叫做正数。（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。（3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。（4）在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。2、有理数（1）凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：-（-2） =4,这个时候的a=-2。 冗不是有理数；正整数正整数正有理数正分数整数零零有理数负整数负整数正分数负有理数分数、负分数、负分数有理数的分类:有理数自然数0和正整数；a0 V=a是正数；aV0 V=a是负数； a三0V=a是正数或0V
2、=a是非负数；aW0V=a是负数或0Va是非正数.3、数轴【重点】（1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求:-1 0 1 2 $ 在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次 表示1,2,3；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2, -3（2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。（3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）二取（取正反向）；三选（选取单位 长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在
3、下，字母在上。注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。（4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。4、相反数(1) 、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 注意：a-b+c的相反数是-a+b-c； a-b的相反数是b-a； a+b的相反数是-a-b； 相反数的商为-1； 相反数的绝对值相等。(2) 、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的 两侧，表示a和-a,我们说这两点关于原点对称。(3) 、a和-a互为相反数。
4、0的相反数是0,正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 相反数是它本身的数只有0。(4) 、在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。(5) 、若两个数a、b互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a、b互为相反 数。(6) 、多重符号的相乘由“-”的个数来定：若“-”的个数为偶数，相乘结果为正数；若“- “的个数为奇数，化简结果为负数。比如:-2X4X(-3)X(-1)X(-5)，因为有4个负号，所以最终结果是正数，再算绝对值的积，得到120.即：-2X4X(-3)X(-l)X(-5) =+(2X4X3X1X5)=120.5、绝对值(1) 、绝对值的定义：一个
5、数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝 对值记作|a|。(2) 、正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0(或者说0的绝对值是它本身，或者说0 的绝对值是它的相反数)；负数的绝对值等于它的相反数；(注意：绝对值的意义是数轴上表 示某数的点离开原点的距离；)。0是绝对值最小的数。(a 0)(a 0)3)、绝对值可表示为：(a = 0)或 |a |(a 0 鬥=-1 O a 0、a； a；(5) 、任何数的绝对值总是非负数(非负数是正数或0),即|a|20。6) 、互为相反数的两个数的绝对值相等。绝对值相等的两个数可能是互为相反数或者相等7) 、有理数比大小： 正数比 0 大，0
6、大于负数，正数大于负数； 两个负数比较，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；8) 、比较两个负数的大小的步骤如下： 先求出两个数负数的绝对值； 比较两个绝对值的大小； 根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。二)有理数的基本运算6、有理数的加法(1) 、有理数加法法则【原创】： 同号相同号，绝对值相加； 异号取大号，绝对值相减； 数与 0 相加，仍得这个数. 一对相反数，其和等于 0.(2) 、加法计算步骤：先定符号，再算绝对值(3) 、有理数加法的运算律： 加法的交换律：a+b=b+a； 加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c).(4) 、为了计算简
7、便 ，往往会采取以下方法： 互为相反的两个数，可以先相加； 符号相同的数，可以先相加； 分母相同的数，可以先相加； 几个数相加能得到整数，可以先相加。7、有理数的减法(1) 、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+(-b)(有理 数减法运算时注意两“变”：减法变加法；把减数变为它的相反数)注：有理数的减法实质就是把减法变加法。8、有理数的乘法(1) 、有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数同零相乘都得零；(2) 、一个数同 1 相乘，结果是原数；一个数同-1 相乘，结果是原数的相反数。(3) 、乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0
8、没有倒数；若ab=1=a、b互为倒数。(4) 、几个不是偶的数相乘，积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时，积是 正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。(5) 、有理数乘法的运算律： 乘法的交换律：ab=ba； 乘法的结合律：(ab) c=a (be)； 乘法的分配律：a (b+e) =ab+ae.9、有理数的除法(1)、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。(2) 、有理数除法符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任 何一个不等于0的数，都得0。(3) 、乘除混合运算的步骤：先把除法转化为乘法；确定积的符号；运用乘法运算律 和乘法法则进行
9、计算得出结果。10、有理数的乘方(1) 、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕。在an中，a叫做底数， n叫做指数。(2) 、an表示的意义是n个a相乘。如：23=2X2X2=8(3) 、分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来。如：(1/2)2(4) 、负数的乘方，在书写时一定要把整个负数(连同负号)用小括号括起来。(5) 、10的几次方，幕的结果中1后面就有几个0。如：105 =100 0 00(6) 、负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数。显然，正数的任何次幕都是正数，0的 任何正整数次幕都是0。1的任何次幕都是1。-1的奇数次幕是-1，-1的偶数次幕是1。1
10、1、科学记数法(1) 、把一个大于 10 数表示成 aX10n 的形式(其中 a 是整数数位只有一位的数，而且 1W|a|V10, n是正整数)，使用的是科学计数法。(2) 、用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n-1。例：240000000用科学计数法记为2.4X10812、近似数(1) 、接近实际数字，但是与实际数字还是有差别，这个数是一个近似数。(2) 、精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示。(3) 、利用四舍五入法得到的近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。(4) 、从一个数的左边的第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效 数字。(5) 、解题技巧：近似数精确到哪一位，只需看这个数的最末一位在原数的哪一位。当四舍五入到十位或十位以上时，应先用科学记数法表示这个数,再按要求取近似数。(6) 、aX10n中有效数字是指a的有效数字。13、等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数：0 倒数等于本身的数：1，-1 绝对值等于本身的数：正数和0 平方等于本身的数：0,1 立方等于本身的数：0,1，-1.
