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1、长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学文科第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且，则A. B. C. D. 2. 若实数且，则下列不等式恒成立的是A. B. C. D. 3. 设集合，则A. B. C. D. 4. 运行如图所示的程序框图，则输出的值为是否开始输出结束A. B. C. D. 5. 已知为圆的一条直径，点为直线上任意一点，则的最小值为A.B. C. D. 6. 几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B.
2、C. D. 7. 以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为A. B. C. D. 8. 已知为椭圆上的点，点为圆上的动点，点为圆上 的动点，则的最大值为A. B. C. D. 9. 已知等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为A. B. C. D. 10. 已知函数，当时，若在区间内，有两个不同的零点，则实数的取值范围是A.B. C. D. 11. 函数的零点所在的区间是 A. B. C. D. 12. 已知直线与圆相交于、两点，设、分别是以为终边的角，则 A. B. C. D. 第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为
3、必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 命题“，”的否定是_.14. 已知实数满足，则的最小值为_.15. 已知向量，则当时，的取值范围是_.16. 已知数列中，对任意的，若满足（为常数），则称该数列为阶等和数列，其中为阶公和；若满足（为常数），则称该数列为阶等积数列，其中为阶公积.已知数列为首项为的阶等和数列，且满足；数列为首项为，公积为的阶等积数列，设为数列的前项和，则 _.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（
4、本小题满分12分） 已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2) 已知的三个内角的对边分别为，其中，若锐角满足，且，求的值.18. （本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. (1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这20
5、0次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率.（，其中）19. （本小题满分12分）在四棱锥中，底面是菱形，平面，点为棱的中点，过作与平面平行的平面与棱，相交于，.（1）证明：为的中点；（2）已知棱锥的高为，且， 、的交点为，连接.求三棱锥外接球的体积.20. （本小题满分12分）椭圆的左右焦点分别为，,且离心率为,点为椭圆上一动点，面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2) 设椭圆的左顶点为,过右焦点的直线与椭圆相交于,两点，连结, 并延长分别交直线于，两点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是,请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数在点处的切线与
6、轴平行.（1）求实数的值及的极值；（2）若对任意，有，求实数的取值范围；请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.如图，过圆外一点的作圆的切线，为切点，过的中点的直线交圆于、两点，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，若.（1）求证：；(2) 求证：四边形是平行四边形.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线与曲线交于,两点，求的最
7、大值和最小值.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.设函数.(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(2) 若不等式恒成立，求实数的取值范围.长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学(文科)参考答案及评分参考一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. D【命题意图】本题考查复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】D复数在复平面内关于直线对称的点表示的复数，故选D.2. C【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质，是书中的原题改编，考查学生对函数图像的认识. 【试题解析】C根据函数的图像与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C.3. C【命题意图】
8、本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题. 【试题解析】C 由题意可知，则，所以. 故选C.4. A【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识，是一道基本题. 【试题解析】A由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为. 故选A.5. A【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算. 【试题解析】A由题可知，从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定值，即为，其中为圆外点到圆心的距离，为半径，因此当取最小值时，的取值最小，由方程的图像可知的最小值为，故的最小值为1. 故选A.6. C【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，对学生运算求解能
9、力有一定要求. 【试题解析】C该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为. 故选C.7. A【命题意图】本题考查椭圆与双曲线离心率的概念，属于基础题.【试题解析】A 以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，故他们的积为1，故选A. 8. B【命题意图】本题主要考查椭圆的定义，是一道中档题. 【试题解析】B 由题可知，故选B.9. B【命题意图】本题考查等差数列的性质，借助前项的取值确定项数，属于基础题.【试题解析】B由题意，不妨设，则公差，其中，因此，即当时，取得最大值. 故选B.10. D【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题，是一道
10、较为复杂的难题. 【试题解析】D 由题可知函数在上的解析式为，可将函数在上的大致图像呈现如图：根据的几何意义，轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置，因此直线的斜率的取值范围是. 故选D.11. C【命题意图】本题主要考查函数的零点问题，将零点问题转化为交点问题，是解决本题的关键.【试题解析】C由题意，求函数的零点，即为求两个函数的交点，可知等号左侧为增函数，而右侧为减函数，故交点只有一个，当时，当时，因此函数的零点在内. 故选C.12. D【命题意图】本题是关于三角函数的综合问题，属于中档题. 【试题解析】D 作直线的中垂线，交圆于两点，再将轴关于直线对称，交圆于点，则，如图所示，而，故.
11、 故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. ，【命题意图】本题考查全称命题的否定，是一道基本题. 【试题解析】由题意可知，命题“，”的否定是：，. 14. 1【命题意图】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题. 从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查. 【试题解析】根据方程组获得可行域如下图，令，可化为，因此，当直线过点时，取得最小值为1. 15. 【命题意图】本题考查积分的运算，是一道中档的常规问题. 【试题解析】由题意，为，根据向量的差的几何意义，表示向量终点到终点的距离，当时，该距离取得最小值为1，当时，根据余弦定理，可算得该距离取得
12、最大值为，即的取值范围是. 16. 【命题意图】本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题. 【试题解析】由题意可知，又是3阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，又是2阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列，每6项的和循环一次，易求出，因此中有336组循环结构，故. 三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求. 【试题解析】解：(1) ，因此的最小正周期
13、为. 的单调递减区间为，即. (6分)(2) 由，又为锐角，则. 由正弦定理可得，则，由余弦定理可知，可求得. (12分)18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求.【试题解析】(1) 由题意可得关于商品和服务评价的列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关. (6分)(2) 若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为
14、，不满意的交易为，从5次交易中，取出2次的所有取法为、，共计10种情况，其中只有一次好评的情况是、，共计6种，因此，只有一次好评的概率为 (6分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解：(1)连结.，即为的中位线，即为中点. (6分)(2) 由(1)知，且，即三棱锥外接球为以、为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为. 则三棱锥外接球的体积为. (12分)20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解：(1) 已知椭圆的离心率为，不妨设，即，其中，又面积取最大值时，即点为短轴端点，因此，解得，则椭圆的方程为. (4分)(2) 设直线的方程为， 联立可得，则，直线的方程为， 直线的方程为， 则， 则，则，即为
