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1、 2022届高三数学第二轮複习 空间位置关係与证明 其次十三讲空间位置关係与证明 高考在考什么 【考题回放】 1、（2022上海卷13） 给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（ c ）条件 a充要 b充分非必要 c必要非充分 d既非充分又非必要 2、（2022安徽卷4）已知是两条不同直线，是三个不同平面，以下命题中正确的是（d ） abcd3、（2022湖南卷5）设有直线m、n和平面、.以下四个命题中，正确的是( d ) a.若m,n,则mn b.若m,n,m,n,则 c.若，m,则m d.若，m，m,则m 4、（2022福建卷6)如图，在长
2、方体abcd-a1b1c1d1中，ab=bc=2,aa1=1,则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为d abcd. 5（2022全国一18）四稜锥中，底面为矩形，侧面底面， （）证明：； （）设与平面所成的角为，求二面角的大小 解：（1）取中点，连线交于点， ，又面面，面， ，即， 面，（2）在面内过点作的垂线，垂足为 ，面， 则即为所求二面角的平面角 ，则， ，即二面角的大小 6、（2022安徽卷）如图，在四稜锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点 （）证明：直线； （）求异面直线ab与md所成角的大小； （）求点b到平面ocd的距离。 方法一（综合法） （1）取ob中
3、点e，连线me，ne 又（2）为异面直线与所成的角（或其补角） 作连线，所以与所成角的大小为 （3）点a和点b到平面ocd的距离相等，连线op,过点a作 于点q， 又 ,线段aq的长就是点a到平面ocd的距离 ，所以点b到平面ocd的距离为 方法二(向量法) 作于点p,如图,分别以ab,ap,ao所在直线为轴建立座标系 ,(1) 设平面ocd的法向量为,则 即 取,解得 (2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为 (3)设点b到平面ocd的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点b到平面ocd的距离为 高考要考什么 一线与线的位置关係:平行、相交、异面； 线与面的位置关係:平
4、行、相交、线在面内； 面与面的位置关係:平行、相交； 二转化思想： ；高考将考什么 【範例1】（07天津）如图，在四稜锥中，底面，是的中点 （）证明； （）证明平面； （）求二面角的大小 （）证明：在四稜锥中， 因底面，平面，故 ，平面 而平面， （）证明：由，可得 是的中点， 由（）知，且，所以平面 而平面， 底面在底面内的射影是， 又，综上得平面 （）解法一：过点作，垂足为，连结则（）知，平面，在平面内的射影是，则 因此是二面角的平面角 由已知，得设， 可得在中， 则在中， 解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为 过点作，垂足为，故平面过点作，垂足为，连结，故因此是二面角的平面角 由
5、已知，可得，设， 可得， 于是， 在中， 所以二面角的大小是 所以二面角的大小是 变式：如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，稜 （1）证明/平面； （2）设，证明平面 证明：（）取cd中点m，连结om. 在矩形abcd中，又，则， 连结em，于是四边形efom为平行四边形. 又平面cde， em平面cde， fo平面cde （）证明：连结fm，由（）和已知条件，在等边cde中， 且.因此平行四边形efom为菱形，从而eofm而fmcd=m， cd平面eom，从而cdeo. 而，所以eo平面cdf. 【点晴】本小题考察直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，留意线面平行和
6、线面垂直判定定理的使用，考察空间想象力量和推理论证力量。 【範例2】（07安徽）如图，在六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面 ，平面， （）求证：与共面，与共面 （）求证：平面平面； （）求二面角的大小（用反三角函式值表示） 证明：以为原点，以所在直线分别为轴， 轴，轴建立空间直角座标系如图， 则有（）证明： 与平行，与平行， 于是与共面，与共面 （）证明：， 与是平面内的两条相交直线 平面又平面过 平面平面 （）解： 设为平面的法向量， ，于是，取，则， 设为平面的法向量， ，于是，取，则， 二面角的大小为 解法2（综合法）： （）证明：平面，平面 ，平面平面
7、于是， 设分别为的中点，连结，有， 于是由，得， 故，与共面 过点作平面于点， 则，连结， 于是， ， 所以点在上，故与共面 （）证明：平面， 又（正方形的对角线相互垂直）， 与是平面内的两条相交直线， 平面又平面过，平面平面 （）解：直线是直线在平面上的射影， 根据三垂线定理，有 过点在平面内作于，连结， 则平面， 于是，所以，是二面角的一个平面角 根据勾股定理，有 ，有， ，二面角的大小为 变式（07江苏）如图，已知是稜长为的正方体， 点在上，点在上，且 （1）求证：四点共面；（4分） （2）若点在上，点在上， ，垂足为，求证：平面；（4分） （3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求
8、 证明：（1）建立如图所示的座标系，则， 所以，故，共面 又它们有公共点，所以四点共面 （2）如图，设，则， 而，由题设得， 得因为，有，又，所以，从而， 故平面 （3）设向量截面，于是， 而，得，解得，所以 又平面，所以和的夹角等于或（为锐角） 于是故 【範例3】如图，在长方体ac1中，ad=aa1=1，ab=2，点e在稜ab上移动. （1）证明：d1ea1d； （2）当e为ab的中点时，求点e到面acd1的距离； （3）ae等于何值时，二面角d1ecd的大小为. 解析：法1 （1）ae面aa1dd1，a1dad1，a1dd1e （2）设点e到面acd1的距离为h，在acd1中，ac=cd1
9、=，ad1=， 故（3）过d作dhce于h，连d1h、de，则d1hce， dhd1为二面角d1ecd的平面角. 设ae=x，则be=2x 法2：以d为座标原点，直线da、dc、dd1分别为x、y、z轴，建立空间直角座标系，设ae=x，则a1(1，0，1)，d1(0，0，1)，e(1，x，0)，a(1，0，0), c(0，2，0). （1）（2）因为e为ab的中点，则e（1，1，0）， 从而， 设平面acd1的法向量为， 则也即，得， 从而，所以点e到平面ad1c的距离为 （3）设平面d1ec的法向量， 由令b=1, c=2, a=2x， 依题意 （不合，捨去）， . ae=时，二面角d1ec
10、d的大小为. 变式：如图，四稜锥pabcd中，底面abcd 为矩形，ab=8，ad=4，侧面pad为等边三角形，并且与底面所成二面角为60. （）求四稜锥pabcd的体积； （）证明pabd. 解析：（）如图，取ad的中点e， 连结pe，则pead. 作po平面在abcd，垂足为o，连结oe. 根据三垂线定理的逆定理得oead， 所以peo为侧面pad与底面所成的二面角 的平面角，由已知条件可知peo=60，pe=6，所以po=3， 四稜锥pabcd的体积vpabcd= （）法1 如图，以o为原点建立空间直角座标系.通过计算可得p(0，0，3)， a(2，3，0)，b(2，5，0)，d(2，3，0) 所以因为所以pabd. 法2：连结ao，延长ao交bd于点f.通过计算 可得eo=3，ae=2，又知ad=4，ab=8， 得所以rtaeortbad.得eao=abd. 所以eao+adf=90 所以 afbd. 因为直线af为直线pa在平面abcd 内的身影，所以pabd. 【点晴】本小题主要考察稜锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象力量、分析问题力量，解题的关键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象力量的要求，但座标系的位置不规则，留意点座标的表示。
