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1、 线性代数概念与定理 MicRaphael第五章 线性空间一、线性空间1、定义与定理（1）线性空间的定义和性质定义1设 F 是一个数集. 如果 F 满足 1, 0F;F 对于加法、减法、乘法、除法(除数不为零)运算封闭; 则称 F 为一个数域.定义2设 V 是一个非空集合, F 是一个数域, 如果定义了如下两种运算, 并且满足后面列举的八条性质, 则称 V 是数域F上的一个线性空间:(1)加法运算: a, bV, 有a+bV; ( V 对加法运算封闭 )(2)数乘运算: aV, kF, 有kaV; (V对数乘运算封闭)(3)八条运算性质: a, b, gV, k, lF: a+b = b+a
2、(交换律)(a+b)+g = a+(b+g) (结合律)q$V, aV, a+q = a (q叫零元素, 也记为0)aV, b$V使 a+b = 0 (b称为a的负元素, 记为-a) 1a = a(kl)a = k(la)k(a+b) = ka+kb (分配律) (k+l)a = ka+la (分配律)线性空间 V 的简单性质(1) V中零向量唯一, 记为 0.假若 q1, q2 都是 V 的零向量, 那么由 q1 是零向量, 有q2 + q1 = q2. 又因 q2 是零向量, 有 q1+ q2 = q1, 于是q1 = q1 + q2 = q2 + q1 = q2.(2) V中每个向量 a
3、 的负向量唯一, 记为 -a. 如果 b, g 都是 a 的负向量, 则b = b + q = b + (a + g) = (b + a) + g = q + g = g.(3) 0a = q. 由a+0a = 1a+0a = (1+0)a = 1a = a, 两边同时加-a, 有0a = 0a+q = 0a+(a+(-a) = (0a+a)+(-a) = a+(-a) = q.(4) (-1)a = -a. 由a + (-1)a = 1a + (-1)a = (1-1)a = 0a = 0,所以由(2)有 (-1)a = -a.(5) kq = q. 由(3)和定义1(6)有 kq = k(
4、0a) = (k0)a = 0a = q.(6)若 ka = q ，则 k = 0 或 a = q. 若 k 0, 则 a = (k-1k) a = k-1(ka) = k-1 q = q.（2）线性空间中元素间的线性关系定义3设a1, a2, , as是数域 F 上的线性空间 V 中的 s 个向量, k1, k2, ks F, 称 k1a1+k2a2+ksas 是a1, a2, , as的线性组合定理1数域 F上的线性空间 V 中的 s 个向量 a1, a2, , as (s 2) 线性相关的充要条件是其中有一个向量可由其余的向量线性表出.定理2设数域 F 上的线性空间 V 中的 s 个向量
5、 a1, a2, , as线性无关, 而 a1, a2, , as, b 线性相关, 则 b 可由a1, a2, , as线性表出, 且表示法唯一.定理3如果向量组 A 可由向量组 B 线性表示, 而且 s t, 则A 一定线性相关.推论1设有两个向量组: 若向量组 A 线性无关, 且可由向量组 B 线性表示, 则 s t.推论2等价的线性无关向量组个数相同.定理4设向量组 a1, a2, , an线性无关，而b1, b2, , bn可由a1, a2, , an线性表出，且有，则b1, b2, , bn线性无关|A|0（3）线性空间的维数、基和坐标定义4如果在线性空间 V 中存在 n 个线性无
6、关的向量, 但任意 n+1 个向量都线性相关, 则称任意 n 个线性无关的向量为线性空间 V 的一组基, 称 n 为线性空间 V 的维数, 记作 dimV = n. 基的概念是坐标系概念的推广.定义5设 e1, e2, en 是 F 的线性空间 V 的一组基, a 是 V 中任一向量, 若记 X = (x1, x2, , xn)T, 则可把向量 a 写成a = (e1, e2, en)X, 称 X 是向量 a 在基 e1, e2, en下的坐标.定理5设e1, e2, en是 V 的一组基, h1, h2, hnV, 记 (h1, h2, hn) = (e1, e2, en)C, 这里 C 是
7、 n 阶方阵 (cij)nn, 则 h1, h2, hn 线性无关 C 可逆定义6设e1, e2, en和h1, h2, hn是 n 维线性空间 V 的两组基, 它们可以互相线性表出, 假若记 C =(cij)nn, 将上式用矩阵形式表示成(h1, h2, hn) = (e1, e2, en)C，称 C 是由基e1, e2, en到h1, h2, hn的过渡矩阵。基变换公式由基e1, e2, en到h1, h2, hn的变换公式为：定理6设e1, e2, en和h1, h2, hn是 n 维线性空间 V 的两个基, 由基e1, e2, en到h1, h2, hn的过渡矩阵是 C, 则C 是可逆
8、矩阵. 2、题型（1）判断一个集合是否构成线性空间。思路：先验证是否对加法和数乘封闭；再逐条验证8条性质。Tips：10如果是线性空间则需要按以上思路逐一列出验证。 20如果不是线性空间，只要找出不封闭或者不满足的性质即可。一般常见的有加法、数乘不封闭、找不到零元素、找不到1元素等。 308条性质简记为：加法交换结合零与负，数乘结合分配二和一。（2）证明一组矩阵、多项式线性无关思路：根据线性无关定义列出表达式，再由条件证明k1=k2=kn=0。Tips：10常常用此待定系数法作，将问题转化为齐次线性方程组解的问题，只要得到的系数行列式|A|0，即可证明只有零解，从而线性无关。 20涉及两组基，
9、或者已知一组基显然线性无关时，注意利用定理4证明另一组基线性无关（特别是对小于n的多项式空间）或者证明可以互相线性表出。（3）求一组基和维数思路：写出一组最简单的基（一般是自然基），然后证明这组向量是一组基。（4）求两组基的过渡矩阵、坐标变换公式思路：求过渡矩阵：用定义法，将新基用旧基线性表出，再由系数得到过渡矩阵；也可由反解出 求坐标变换公式，其实就是将C-1X算出来，分别得到等式。（5）求新基下的坐标思路一：用待定系数法和恒等式直接解出坐标。思路二：先求过渡矩阵，再求出其逆矩阵，用坐标变换公式Y = C-1X将旧基坐标转换为新基坐标。坐标变换公式如果向量 a 在两组基下的坐标分别是X =
10、(x1, x2, , xn)T 和 Y = (y1, y2, , yn)T, 则Y = C-1X, 或 X = CY 称为坐标变换公式.二、线性子空间1、定义与定理（1）线性子空间定义1设 V 是 F 上的线性空间, W为 V 的非空子集, 如果W 对于 V 和 F 上的 “+”,“ ”仍为线性空间, 则称 W 是 V 的子空间. 0 和 V 称为平凡子空间.定义2齐次线性方程组 AX = 0 的全体解向量构成 Rn 的一个子空间, 记为 N(A), 称为 AX = 0 的解空间或化零空间。定理1设 W 是线性空间 V 的非空子集, 那么 W 是 V 的子空间的充要条件是 W 对 V 中定义的
11、加法和数乘运算封闭.定理2设 W1, W2 是线性空间 V 的两个子空间, 则 W1, W2 的交 W1W2 = a|aW1且 aW2 是 V 的一个子空间.定义3设W1, W2是线性空间 V 的两个子空间, 则W1+W2 = aa = a1+ a2, a1W1, a2W2称为 W1 与W2的和.定理3 线性空间 V 的两个子空间W1 与 W2 的和 W1+W2 是 V 的一个子空间.定理4 设 W1, W2 为 V 的两个子空间，则dimW1+dimW2 = dim(W1+W2)+dim(W1W2).定义4设属于数域F上的线性空间V,则子集是V的一个子空间, 称为由生成的子空间.定理5向量组
12、a1, a2, as生成的子空间维数等于它的秩。定理6向量组和其极大线性无关组生成的子空间是相同的。定理7两个向量组生成子空间相同的充分必要条件是这两个向量组等价。定义5设由 A 的 n 个列向量生成的子空间称为 A 的列空间, 记为 R(A). 定理8设A为mn矩阵，B为ns矩阵，则有R(AB)R(A); N(AB)N(A)（2）子空间的直和定义6设W1和W2是V的子空间, 如果W1W2= 0, 则称 W1+W2 为W1与W2的直和, 记为定理9设 W1, W2 为 V 的两个子空间, V = W1+W2, 则下面的四个命题等价：(1) W1W2 = 0,(2) 0 表示成 W1与W2 中元
13、素和的方法唯一. (3) V 中任意元素表示成 W1与 W2 中元素和的方法唯一.(4) dim V = dim W1 +dim W2 . 推论设 W1, W2 为 V 的两个子空间, V = W1+W2, 为 W1 的一组基, 而 为 W2 的一组基, 则为V的一组基. 定义7设 W1 是 V 的一个子空间, a1, a2, as 是 W1 的一组基, b1, bs+t 为 V 的一组基, 则可以把 a1, as扩充为向量组 a1, as, b1, bs+t 的极大线性无关组, 即为V的一组基, a1, a2, as, as+1,as+t .记则W2称为W1的补空间.定理10设是 V 的一组
14、基, 设即则 b1, b2, bs 线性无关 C 的 s 列线性无关.推论设是 V 的一组基, 设即则与矩阵 C 的列向量组的任何对应部分组有相同的线性相关性(线性关系),且 定理11设W1是n维线性空间V的一个非零子空间，则V中必存在W2使得。（3）线性空间的同构定义8设 V1 与 V2 是数域 F 上的两个线性空间, 如果存在从V1 到 V2 的一个双射满足： 则称是同构映射,称 V1 与 V2 是同构的.性质 (1)；(2)有(3) 设 a1, an 是 V1 中向量, 则 V2 中向量 j(a1), j(an) 线性相关（无关） a1, an 线性相关（无关）(4)若a1, an 是 V1的一组基，则j(a1), j(an) 是V2 的一组基(5)同构映射的逆映射以及两个同构映射的复合映射均为同构映射定理12V是n维线性空间，则其必同构于数域F上的n维向量空间Fn 。推论F上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件为它们的维数相同。题外话证明一个关系是等价关系，需要证明三点：自反性、对称性和传递性。2、题型（1）判断一个集合能否构成子空间思路：只要验证一下该集合是否对加法和数乘封闭即可。（2）求W1，W2以及子空间的W1W2和W1+W2的基和维数思路：10找出W1W2的一组基，则W1=L ()，即可得到W1W2
