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1、多重共线性“多重共线性” 一词由R. Frisch 1934年提出，它原指模型的解释变量间存在线性关系。 1非多重共线性假定rk (X X) = rk (X) =k解释变量不是完全线性相关的或接近完全线性相关的。| r |工1,| r I不近似等于1。i xjxi xj就模型中解释变量的关系而言，有三种可能。(1) rx x = 0，解释变量间毫无线性关系，变量间相互正交。这时已不需要多重回归，每 xi xj个参数片都可以通过y对Xj的一元回归来估计。(2) | rx x | = 1，解释变量间完全共线性。此时模型参数将无法确定。直观地看，当两变xi xj 量按同一方式变化时，要区别每个解释变
2、量对被解释变量的影响程度就非常困难。(3) 0 rx x R2,则x.，x.间的多重共线性是有害的。xi xj i j( 3)此外还有其他一些检验方法，如主成分分析法等，很复杂。5多重共线性的克服方法5.1 直接合并解释变量 当模型中存在多重共线性时，在不失去实际意义的前提下，可以把有关的解释变量直接 合并，从而降低或消除多重共线性。如果研究的目的是预测全国货运量，那么可以把重工业总产值和轻工业总产值合并为工 业总产值，从而使模型中的解释变量个数减少到两个以消除多重共线性。甚至还可以与农业 总产值合并，变为工农业总产值。解释变量变成了一个，自然消除了多重共线性。5.2 利用已知信息合并解释变量
3、通过经济理论及对实际问题的深刻理解，对发生多重共线性的解释变量引入附加条件从 而减弱或消除多重共线性。比如有二元回归模型儿=卩 0+ 卩 1 xt1 + 卩 2 xt2 + ut（7.20）x1与x2间存在多重共线性。如果依据经济理论或对实际问题的深入调查研究，能给出回归系数卩与卩2的某种关系，例如P2 =码(7.21)其中尢为常数。把上式代入模型（7.20），得儿=卩0+ 卩1 Xt1 + 邢1 Xt2 + Ut =卩0 + 卩1 (Xt1 + 尢 Xt2)+ U(7.22)令Xt = Xt1 + 尢 Xt2得yt =p0+p1xt +ut(7.23)模型（7.23）是一元线性回归模型，所以
4、不再有多重共线性问题。用普通最小二乘法估计模型（7.23）,得到A，然后再利用（7.21）式求出広。下面以道格拉斯（Douglass）生产函数为例，做进一步说明。Yt = K L, Cf eu（7.24）其中Yt表示产出量，Lt表示劳动力投入量，C表示资本投入量。两侧取自然对数后，LnYt = Ln + oLnLf + LnC + 叫（7.25）因为劳动力（Lt）与资本（Ct）常常是高度相关的，所以LnLt与LnCt也高度相关，致 使无法求出8卩的精确估计值。假如已知所研究的对象属于规模报酬不变型，即得到一个 条件8 + p = 1利用这一关系把模型（7.25）变为LnYt =LnKt+8 L
5、nLt + （1- 8） LnCt +ut整理后，) =Ln Kt + 8 Ln () +ut(7.26)变成了 Ln （Yt/C）对Ln （LC）的一元线性回归模型，自然消除了多重共线性。估计出a后, 再利用关系式8 + P = 1,估计P。5.3 增加样本容量或重新抽取样本这种方法主要适用于那些由测量误差而引起的多重共线性。当重新抽取样本时，克服了 测量误差，自然也消除了多重共线性。另外，增加样本容量也可以减弱多重共线性的程度。5.4 合并截面数据与时间序列数据这种方法属于约束最小二乘法（RLS）。其基本思想是，先由截面数据求出一个或多个 回归系数的估计值，再把它们代入原模型中，通过用因变
6、量与上述估计值所对应的解释变量 相减从而得到新的因变量，然后建立新因变量对那些保留解释变量的回归模型，并利用时间序列样本估计回归系数。下面通过一个例子具体介绍合并数据法。(7.29)设有某种商品的销售量模型如下，Ln Yt=p0+p1Ln Pt+p2Ln It+ut 其中Yt表示销售量，Pt表示平均价格，I表示消费者收入，下标t表示时间。在时间序列数据中，价格Pt与收入It 一般高度相关，所以当用普通最小二乘法估计模 型(7.29)的回归系数时，会遇到多重共线性问题。首先利用截面数据估计收入弹性系数卩2。因为在截面数据中，平均价格是一个常量，所 以不存在对卩的估计问题。把用截面数据得到的收入弹
7、性系数估计值02代入原模型(7.29)。得LnYt =卩0+ 卩 1 Ln Pt + A? 5 It+ Ut移项整理LnYt - Ln It =卩0+ 卩 1 LnPt + Ut变换后的因变量(LnY - 0 Ln I)用Z表示，贝It 2 ttZt=00+01LnPt + ut(7.30)这时已排除收入变量的影响。模型已变换为一元线性回归模型。利用时间序列数据对模型 (7.30)作普通最小二乘(OLS)估计，求出附，A。这样便求到相对于模型(7.29)的估 计式，A八八八LnY=卩 0 + 卩 iLn Pt + 卩 2Ln It其中02是用截面数据估计的，00,0是由时间序列数据估计的。由于
8、把估计过程分作两步，从而避免了多重共线性问题。显然这种估计方法默认了一种 假设，即相对于时间序列数据各个时期截面数据所对应的收入弹性系数估计值都与第一步求 到的02相同。当这种假设不成立时，这种估计方法会带来估计误差。5.5 逐步回归法(1) 用被解释变量对每一个所考虑的解释变量做简单回归。并给解释变量的重要性按可 决系数大小排序。(2) 以对被解释变量贡献最大的解释变量所对应的回归方程为基础，按解释变量重要性 大小为顺序逐个引入其余的解释变量。这个过程会出现3种情形。若新变量的引入改进了 R2,且回归参数的t检验在统计上也是显著的，则该变量在模型中予以保留。若新变量的 引入未能改进R2,且对
9、其他回归参数估计值的t检验也未带来什么影响，则认为该变量是多 余的，应该舍弃。若新变量的引入未能改进R2,且显著地影响了其他回归参数估计值的 符号与数值，同时本身的回归参数也通不过t检验，这说明出现了严重的多重共线性。舍弃 该变量。案例1：关于中国电信业务总量的计量经济模型(file:coline2) 经初步分析，认为影响中国电信业务总量变化的主要因素是邮政业务总量、中国人口数、 市镇人口占总人口的比重、人均GDP、全国居民人均消费水平。用1991-1999年数据建立 中国电信业务总量计量经济模型如下，Ln y = 2494 + 216 x1 303 x2 + 337 x3 + 1-29 x4
10、 - 203 X(0.7)(1.6)(-0.8)(1.0)(1.5)(-1.2)R2 = 0.99,F = 106.3, DW = 3.4,T = 9, (1991-1999), t0.05(3) = 3.18,R2 = 0.99，而每个回归参数的t检验在统计上都不显著，这说明模型中存在严重的多重 共线性。表1变量y，x,.x2，x3，x4，x5 的数据年电信业务总量y邮政业务总量x中国人口数x市镇人口比重x人均GDPx,人均消费水平x1234519911.51630.527511.58230.26371.8790.89619922.26570.636711.71710.27632.2871.
11、07019933.82450.802611.85170.28142.9391.33119945.92300.958911.98500.28623.9231.74619958.75511.133412.11210.29044.8542.236199612.08751.332912.23890.29375.5762.641199712.68951.443412.36260.29926.0532.834199822.64941.662812.48100.30406.3072.972199931.32381.984412.59090.30896.5343.143资料来源：中国统计年鉴2000Depen
12、dent Variable: LOG(Y) NIethod: Least Squares Date: 04/18/04 Time: 07:58Sample: 1991 1999Included observations: 9Variabl eCciEffiuiEDtStd. Errort-StatisticProb.C24.9366038.452070.6485110.5629X12.1636311.3523221.5999380.2079X2-3.0345513.986712-0.7611660.5019X3337133332.939431.0234950.3814X41.2880600.8340691.5452670.2200X5-2.0271911.664341-1.2100140.3103R-squared0.994305Mean dependent var2.013502Adjusted R-squared0.985027S.
