排列组合知识点与方法归纳

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1、排列组合、知识网络二、咼考考点1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）三、知识要点一分类计数原理与分步计算原理1分类计算原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有 mi种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m i +m2+ + m n种不同的方法。2分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成 n个步骤，做第1步有mi种不同的方法，做第 2步有m2种不 同

2、的方法， ，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m i x m 2 x x mn 种不同的方法。3、认知：上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类： 将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少， 只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成(在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事)。二排列1定义(1 )从n个不同元素中取出 m (迸空斥)个元素，

3、按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一排列。(2)从n个不同元素中取出 m 严讯)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为八:.2排列数的公式与性质闹！(1) 排列数的公式：=n (n-1 )( n-2 )(n-m+1 ) =特例：当m=n 时，=n ! =n (n-1 )( n-2 )X3 X2X1规定：0 ! =1（2 ）排列数的性质:月（排列数上标、下标同时减 1 （或加1 ）后与原排列数的联系）（H）（排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联 系）（川）*-（分解或合并的依据）三.组合1定义 （1 ）从n个不同元素中取出： 个元素

4、并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合（2）从n个不同元素中取出：个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 ：表示。2组合数的公式与性质（1）组合数公式:卅_ 找（遇 _ 1）（龙-2） * - we +1）（乘积表示）:_e N且腕 5戏）特例：-（2）组合数的主要性质:（上标变换公式）（杨辉恒等式）认知：上述恒等式左边两组合数的下标相同，而上标为相邻自然数； 合二为一后的右边组合数下标等于左边组合数下标加1，而上标取左边两组合数上标的较大者。3比较与鉴别由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过

5、程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个 步骤。（1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。（2） 注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列” 两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：匚匚四、经典例题例1、某人计划使用不超过 500元的资金购买单价分别为 60、70元的单片软件和盒装 磁盘，要求软件至少买 3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（）A .5种B.6种C. 7种D. 8种分析：

6、依题意“软件至少买3片，磁盘至少买2盒”，而购得3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，只需讨论剩下的180元如何使用的问题。解：注意到购买 3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有 1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法；第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有 2种方法； 第四类，不买软件，再 买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有 3种方法；于是由分类计数原理可知，共有N=1 + 1+2+3=7种不同购买方法，应选 C。fM N例 2、已知集合 M=-1, 0 , 1,

7、N=2 , 3 , 4 , 5，映射，当 x M 时,+住）5（力为奇数，则这样的映射的个数是（）A.20B.18C.32D.24分析：由映射定义知，当x M时，口 一 -当x M时，这里的x可以是奇数也可以是偶数，但?IVI 必须为奇数，因 此，对M中x的对应情况逐一分析，分步考察:第一步，考察 x=-1 的象，当 x=-1 时，J-：，+“此时7-可取N中任一数值，即 M中的元素-1与N中的元素有4种对应方法;第二步，考察x=0的象，当x=0时fI.为奇数，故只有 2种取法（丨I - =3或 =5 ），即M中的元素0与N中的元素有2种对应方法；第三步，考察x=1的象，当x=1时为奇数，故；

8、 可 为奇数也可为偶数 可取N中任一数值，即 M中的元素1与N中的元素有4种对应方法，于是由分步计数原理可知，映射7 共有4 X2 X4=32个。中有4个编号为1 , 2, 3 , 4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同 的涂法?解：根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同 颜色，于是考虑以对角的小三角形1、4同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步计算。第一类：1与4同色，则1与4有5种涂法，2有4种涂法，3有4种涂法， 故此时 有N1=5 X4 X4=80种不同涂法。第二类

9、：1与4不同色，则1有5种涂法，4有4种涂法，2有3种涂法，3有3种涂 法，故此时有N2=5 X4 X3X3=180种不同涂法。综上可知，不同的涂法共有80+180=260 种。点评：欲不重不漏地分类， 需要选定一个适当的分类标准，一般地，根据所给问题的具体情况，或是从某一位置的特定要求入手分类,或是从某一元素的特定要求入手分类，或是从问题中某一事物符合条件的情形入手分类,或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等等。例4、将字1、2、3、4填入标号为12、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每B.9种个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A.6种C.11 种D.23 种解法一（采用“分步”

10、方法）：完成这件事分三个步骤。第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法；第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有3种不同填法;第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法；于是，由分步计数原理得，共有N=3 X3 X仁9种不同填法。解法二：（采用“列举”方法）：从编号为1的方格内的填数入手进行分类。第一类：编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法:第二24|1 |321432341类.编号1的方格内填数字3，也有3种不同填法：3JA 1234123421第三类：编号为1的方格内填数字4，仍有3种不同填法:412343124321于是由分类计数原理

11、得共有N=3+3+3=9种不同填法，应选 B解法三（间接法）：将上述 4个数字填入4个方格，每格填一个数，共有 N1=4 X3 X2X1=24种不同填法，其中不合条件的是(1)4个数字与4个格子的编号均相同的填法有1种；(2)恰有两个数字与格子编号相同的填法有6种；(3) 恰有1个数字与格子编号相同的填法有8种； 因此，有数字与格子编号相同的填法共有 N 2=1+6+8=15种于是可知，符合条件的填法为24-15=9种。点评：解题步骤的设计原则上任意，但不同的设计招致计算的繁简程度不同，一般地, 人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排，以减少问题的头绪或悬念。当正面考虑头绪较多时，可考

12、虑运用间接法计算：不考虑限制条件的方法种数一不符 合条件的方法种数=符合条件的方法种数。在这里，直接法中的“分析”与间接法主体的“分类”，恰恰向人们展示了“分步”与“分类”相互依存、相互联系的辩证关系。例5、用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字4位数，其中，必含数字 2和3，并且2和3不相邻的四位数有多少个？解：注意到这里“ 0 ”的特殊性，故分两类来讨论。丄种排第一类：不含“ 0”的符合条件的四位数，首先从 1，4，5这三个数字中任选两个作排列有儿 种；进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有法，于是由分步计数原理可知，不含0且符合条件的四位数共有復:=36个。第二类

13、：含有“ 0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先从1，4，5这三个数字中任选一个，而后与0, 2，3进行全排列，这样的排列共有T1个。其中，有如下三种情况不合题意，应当排险:(1)0在首位的，有I个;(2)0在百位或十位，但2与3相邻的，有个(3) 0在个位的，但2与3相邻的，有个因此，含有0的符合条件的四位数共有 七二一 V 一 =30个于是可知，符合条件的四位数共有36+30=66 个点评：解决元素不相邻的排列问题，一般采用“插空法”，即先将符合已知条件的部分元素排好，再将有“不相邻”要求的元素插空放入；解决元素相邻的排列问题，一般采用“捆 绑法”，即先

14、将要求相邻的元素“捆绑”在一起，作为一个大元素与其它元素进行排列，进 而再考虑大元素内部之间的排列问题。例6、某人在打靶时射击 8枪，命中4枪，若命中的4枪有且只有3枪是连续命中的， 那么该人射击的8枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有()A. 720 种B.480 种C.24 种D.20 种分析：首先，对未命中的4枪进行排列，它们形成5个空挡，注意到未命中的4枪“地 位平等”，故只有一种排法，其次，将连中的 3枪视为一个元素，与命中的另一枪从前面 5 个空格中选2个排进去，有二 种排法，于是由乘法原理知，不同的报告结果菜有种点评：这里的情形与前面不同， 按照问题的实际情况理解， 未命中的4枪“地位平等” 连续命中的3枪亦“地位平等”。因此，第一步排法只有一种，第二步的排法种数也不再 乘以二。解决此类“相同元素”的排列问题，切忌照搬计算相同元素的排列种数的方法， 请读者引起注意。，贝U n=(3)吗*忑41划4逬-(4)丄-丄疋邑S =，则n的取值集合为(5)的解集为解:(1)注意到n满足的条件原式=：_=】1 ：(2)运用杨辉