“三线合一”性质的逆定理

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1、一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。逆定理：如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明：已知：/ABC中，AD是ZBAC的角平分线，AD是BC边上的中线，求证：/ABC是等腰三角形。分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行,那就

2、换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍”,即延长AD到E点，使AD=ED,由此问题就解决了。证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE在/ABD和/ECD中AD=DEZADB=ZEDCBD=CD./ABD9/ECD.AB=CE,ZBAD=ZCEDTAD是ZBAC的角平分线?.ZBAD=ZCAD.ZCED=ZCAD.AC=CE.AB=AC./ABC是等腰三角形。三个逆定理中以逆定理在几何证明的应用中尤为突出。证明：已知：/ABC中，AD是ZBAC的角平分线，AD是BC边上的高,求证：/ABC是等腰三角形。分析：通过（ASA）的方法来证明/ABD和/ACD的全等，由此推

3、出AB=AC得出/ABC是等腰三角形证明：已知：/ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：/ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来证明/ABD和/ACD的全等，由此推出AB=AC得出/ABC是等腰三角形。（即垂直平分线的定理）二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用（1）逆定理的简单应用例题1已知：如图，在/ABC中，AD平分ZBAC,CD丄AD,D为垂足，ABAC。求证：Z2=Z1+ZB分析：由“AD平分ZBAC,CD丄AD”推出AD所在的三角形是等腰三角形，所以延长CD交AB于点E,由逆定理得出/AEC是等腰三角形由此就可得出Z2=

4、ZAEC，又ZAEC=Z1+ZB，所以结论得证。(2) 逆定理与中位线综合应用例题1已知：如图，在/ABC中，AD平分ZBAC，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF。求证：EFAB,EF=(AC-AB)分析：由已知可知，线段AE既是ZBAC的角平分线又是EC边上的高，就想到把AE所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线“分别延长CE、AB交于点G”。简单证明：由逆定理得出/AGC是等腰三角形，点E是GC的中点.EF是/BGC的中位线:得证。例题2如图，已知：在/ABC中，BD、CE分别平分ZABC,ZACB,AG丄BD于G，AF丄CE于F,AB=1

5、4cm,AC=9cm,BC=18cm.求：FG的长。分析：通过已知条件可以知道线段CF和BG满足逆定理的条件，因此就想到了分别延长AG、AF来构造等腰三角形。简单证明：分别延长AG、AF交BC于点K、H由逆定理得出/ABK是等腰三角形点G是AK的中点同理可得点F是AH的中点FG是/AHK的中位线由此就可解出FG的长。(3) 逆定理与直角三角形的综合应用例题1已知，如图，AD为Rt/ABC斜边BC上的高，ZABD的平分线交AD于M,交AC于P,ZCAD的平分线交BP于Q。求证：/QAD是等腰三角形。分析：由直角三角形的性质可知道ZAQM=90,由此线段BQ满足了逆定理2的条件，所想到延长AQ交B

6、C于点N。简单证明：由添辅助线得出/ABN是等腰三角形Q点是AN的中点在Rt/AND中，Q是I中丿.QA=DQ,:得证。例题2如图，在等腰/ABC中，ZC=90,如果点B到ZA的平分线AD的距离为5cm,求AD的长。分析：已知条件满足了逆定理2,所以延长BE和AC,交于点F。简单证明：由所添辅助线可知/ABF是等腰三角形E点是BF的中点BF=2BE=10再由/ADC和/BFC的全等得出AD=BF结论求出。对已知条件的合理剖析，找出关键语句，满足定理条件，添加适当的辅助线来构造等腰三角形，以达到解决问题的目的。（4）逆定理的简单应用（即垂直平分线的应用）例题1（2006年宝山区中考模拟题）如图，

7、已知二次函数y=ax2+bx的图像开口向下，与x轴的一个交点为B,顶点A在直线y=x上,O为坐标原点。证明：/AOB是等腰直角三角形分析：由抛物线的对称性可添辅助线-过点A作AD丄x轴，垂足为D及直线y=x的性质,可以知道/AOB是等腰直角三角形。例题2如图，以/ABC的边AB,AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG,求证：若DFBC,则AB=AC分析：从已知条件出发想到了正方形的性质：边，角以及对角线：边的相等，角的相等并都等于90度，现要证明等腰三角形，能与其最密切的想到是否也能构造直角呢？于是就想到了添辅线AH简单证明：分别过点A、D、F作AHIBC,DI丄BC,FJ丄BC,分别交

8、BC于点H,CB的延长线于I,BC的延长线于J由DFBC,DI=FJ又/AHC9/CJF(AAS),/ABH9/BDI(AAS).HC=FJ,BH=DI.BH=HC,:得证。抓住已知条件和结论的联系，(例题1中抛物线的对称性和等腰三角形的垂直平分线之间的内在联系，例题2中正方形中直角的信息获得与等腰三角形的垂线间的间接联系，)通过获取的信息以及对等腰三角形“三线合一”性质的逆定理的熟练把握，再进行对题目的重新整合，就能快速做出解题的策略，添加相应的辅助线，对于解题有很大的帮助。(5) 逆定理在作图中的应用已知：线段m,Za及ZP，求作/ABC，使ZABC=Za，ZACB=Z卩，且AB+BC+C

9、A=m分析：对于作图题，一般先在草稿纸上画出要求作图形的草图，再把相应的已知条件在图上标出，通过对草图的解剖与分析再把图用尺规规范的做出。通过草图的分析，直接得到所求三角形不行，由已知三边的和为m以及外角的性质我们可以找到一顶点A,再由垂直平分线与边的交点找到另两个顶点B和Co作法：1、画射线OP,在OP上截取线段OQ=m,2、画射线0M,使ZMOP=1/2Za3、画射线QN,使ZNQO=1/2ZP，交射线OM于点A4、分别作AO、AQ的垂直平分线，交OQ于B,C两点,/ABC就是所求三角形。等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在辅助线教学中的应用不但可以强化学生解题的能力，而且加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为学生开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的本质，在教学中教师要及时融入没、，这样才有助于学生拓宽思路，丰富联想，从而达到融会贯通的目的。