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1、精选文档课题：研究原函数与导函数的关系设计思路这节课是在学完导数和积分以后，学生从大批的实例中对原函数和导函数的关系有了必定的认识的基础上睁开教课的。因为这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既感觉有挑战性又充满研究的兴趣。备这个课的过程中我固然参照了大批已有的资料，但需要做更深入地思虑这些命题间的联系，以什么方式睁开更利于学生拾级而上，最后登上巅峰领悟一览众山小的乐趣和成就感。教师其实是在指引学生进行一次理论的探险，英勇地猜，当心地证，慎重地更正条件，步步迫近真谛。最后学生能否记住这些结论其实不重要，重要的是研究互相关系的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来
2、说会有更多的收获。整个教课流程1.从经验观察发现，猜想得命题p,q.这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较简单上手。2.学生自然会想到这个命题的抗命题能否成立，试试证明。证明的思路也要逆向思虑。发现因为导数确立后原函数不可以独一确立，有上下平移的可能，这样关于y轴对称的性质可以保持，但关于原点对称的性质就不可以保证了。3.函数的平移不改变函数图象的对称性，所以将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶函数的性质拓展为关于直线对称，研究前面的四个命题还能否成立。研究方法可以类比迁徙前面的方法。能成立的严格证明，不可以成立的举出反例，并试试经过改变条件使之成为真命题。4.已有成就的应用
3、：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。教课目标在这个研究过程中1.增强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是如何出生的，如何才是全面地认识了一个事物。4.培育学生的思辩能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。教课要点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、鉴识真伪的过程。教课难点灵巧运用所学知识研究未知领域。新课引入前面解题时我们常依据导函数的符号表示图画出原函数的单调性表示图，你能依据原函数的图像画出导函数的表示图吗？研究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。问
4、题1已知函数的图像，请试试画出其导函数的图像表示图。yxoxyoyxooxyxyo导函数的实质是原函数的瞬时变化率，导函数的正负反应了原函数的单调性，导函数的大小反应了原函数增减的快慢。从图像的整体性质上看，你还有什么发现？猜想p:可导的奇函数的导函数是偶函数，猜想q:可导的偶函数的导函数是奇函数。问题2你能依据图象上解说一下你的猜想吗？奇函数关于原点中心对称，它的曲线在原点双侧等距离处起落速度同样，即切线斜率相等；偶函数关于y轴对称，它的曲线在y轴双侧等距离处起落速度绝对值相等，即切线斜率互为相反数。问题3试试证明你的猜想P:已知是可导的奇函数，求证时偶函数分析1：欲证时偶函数，只需证若将理
5、解将中的替代为获取的函数，可以用导数定义证明。证明：当是奇函数时,对定义域中的任意都有所以时偶函数分析2.用复合函数求导证明：当是奇函数时，对定义域中的任意都有两边对求导得，即得，所以时偶函数命题q同理可证.思虑：看来已知原函数的奇偶性，我们可以确立导函数的奇偶性，那么已知导函数的奇偶性能否推知原函数的奇偶性呢？命题p和q的抗命题能否成立呢？二研究由导函数的奇偶性能否推出原函数的奇偶性。问题4p和q的抗命题能否成立？p的抗命题：若是偶函数，则奇函数此命题不正确，可举出反例：如是奇函数，而原函数当c不为0时，原函数不是偶函数。这是什么原由造成的呢？因为原函数定了，导函数是独一确立的，而同一个导函
6、数的原函数有无量多个。一个函数向上或向下平移后导函数是不变的，直观理解是切线的斜率不变。而函数上下平移就不可以保证图象关于原点中心对称了。q的抗命题：若是奇函数，则偶函数证明：是奇函数时能否推出？只好推出，思虑是确立的值吗？能求吗？问题转变成导函数是0，原函数是什么？可以举出分段的常数函数，为使此命题成立，我们增强一下条件，将命题改为“关于在R上连续可导的函数，若是奇函数，则偶函数”。此时在处有定义，则，此时可得，原函数是偶函数。三研究由原函数的对称性能否推出导函数的对称性关于连续的可导函数，原函数的奇偶性可以推出导函数的奇偶性，而抗命题中当导函数为奇函数时，原函数是偶函数，但当导函数为偶函数
7、时，原函数不必定是奇函数，那么此时原函数固然不是奇函数了，它能否是也有什么性质呢？它的图像应该是中心对称的。能否将刚刚的结论推行一下？问题5奇函数图象特色是关于原点中心对称，偶函数图象特色是关于轴对称，能否将上述命题推行一下？P的推行命题：若可导函数关于对称，则它的导函数关于直线对称。证明：关于对称，则，即，所以其导函数关于直线对称。q的推行命题：若可导函数关于对称，则它的导函数关于对称证明：关于对称，则，即所以其导函数关于对称导函数的对称中心在轴上.更正命题.若可导函数关于对称，则它的导函数关于对称令中可得，能否从图像中找到解说？四研究由导函数的对称性能否推出原函数的对称性问题6思虑：命题，
8、抗命题能否成立？命题的抗命题：关于在R上可导的函数，若它的导函数关于直线对称，则原函数关于对称证明：关于直线对称，则而得当时可得，所以，即函数关于对称。对称中心在函数图像上。命题的抗命题：（课上只写出命题，判断考据留作课后思虑题）关于在R上连续可导的函数，若它的导函数关于对称，则原函数关于直线对称证明：关于直线对称，则而得当时，此命题不成立。当时，由时可得，所以，即函数关于对称。命题的抗命题需要修正，若关于在R上连续可导的函数，若它的导函数关于对称，则原函数关于直线对称五原函数与导函数对称性联系的应用1.我们知道二次函数都是有对称轴的，而二次函数又是三次函数的导函数，你能由此得出三次函数拥有什
9、么性质？分析：由命题的抗命题知三次函数必有对称中心。对称中心的横坐标与导函数的对称轴的横坐标同样。求任意三次多项式函数的对称中心。解：，其对称轴是，将此值代入分析式可得对称中心纵坐标。即函数的对称中心为.2.若是偶函数，则的关系是解：由其导函数是奇函数，且在0处有定义，可得，得，代回检验。小结：整体结构：原函数导函数导函数原函数奇偶性p：可导的奇函数的导函数是偶函数（真）q:可导的偶函数的导函数是奇函数（真）p逆：若是偶函数，则奇函数.（假）q逆：若是奇函数，则偶函数.（真）对称性r：若R上可导函数关于对称，则它的导函数关于直线对称。(真)s:若R上可导函数关于对称，则它的导函数关于对称。(真
10、)r逆：关于在R上可导的函数，若它的导函数关于直线对称，则原函数关于对称.（真）s逆（改）：关于在R上可导的函数，若它的导函数关于对称，则原函数关于直线对称。（真）证明上述命题的思路：1. 由原函数研究导函数用吻合函数求导；由导函数研究原函数从要证的式子出发找寻原函数的性质。课后思虑研究：判断s逆能否正确，假如正确试试证明，若不正确举出反例。教课反思：学生对这样的课很感兴趣，一方面可以在研究的过程中加深对导数看法的理解，另一方面可以感觉到数学内部的慎重性和对称美。命题的产生来自经验，命题的证明需要用复合函数的导数这一工具沟通原函数和导函数的对应关系，开始学生感觉有点费劲，需要教师加以启示指引。但证过两个命题后，学生对后边的命题证明就有了可以类比迁徙的样板，证明的思路就更清楚了。最后讲的两个应用问题学生感觉这节课推出的命题是实用武之地的。这节课的主旨不在于记住这些命题，而在于体验研究问题的一般方法。研究导函数的目的是实现转变，将复杂的问题转变成较简单的问题，如用研究导函数的符号来研究原函数的单调性，用导函数的零点研究原函数的极值，用导函数的奇偶性研究原函数的对称性等。7
