数学解析总结知识点总结.doc

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1、数学分析总结知识点总结数学分析知识点总结第一章实数集与函数1实数讲课章节：第一章实数集与函数1实数教课目的：使学生掌握实数的基天性质教课要点：理解并熟练运用实数的有序性、茂密性和封闭性；牢记并熟练运用实数绝对值的相关性质以及几个常有的不等式（它们是分析论证的重要工具）教课难点：实数集的看法及其应用教课方法：解说（部分内容自学）教课程序：前言上节课中，我们与大家共同商讨了数学分析这门课程的研究对象、主要内容等话题从本节课开始，我们就基本依据教材次序给大家介绍这门课程的主要内容第一，从大家都较为熟习的实数和函数开始问题为何从“实数”开始数学分析知识点总结答：数学分析研究的基本对象是函数，但这里的“

2、函数”是定义在“实数集”上的（xx课复变函数研究的是定义在复数集上的函数）为此，我们要先认识一下实数的相关性质一、实数及其性质1、实数问题有理数与无理数的表示不一致，这对一致谈论实数是不利的为以下谈论的需要，我们把“有限小数”（包含整数）也表示为“无穷小数”为此作以下规定：关于正有限小数此中，记；关于正整数则记；关于负有限小数（包含负整数），则先将表示为无穷小数，此刻所得的小数从前加负号0表示为0例：；32.9999；2.0012.009999；32.9999利用上述规定，任何实数都可用一个确立的无穷小数来表示在此规定下，如何比较实数的大小？数学分析知识点总结2、两实数大小的比较1）定义1给定

3、两个非负实数，.此中为非负整数，为整数，若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或关于负实数、，若按上述规定分别有或，则分别称为与（或）规定：任何非负实数大于任何负实数2）实数比较大小的等价条件（经过有限小数来比较）定义2（不足近似与节余近似）：为非负实数，称有理数为实数的位不足近似；称为实数的位节余近似，.关于负实数，其位不足近似；位节余近似.注：实数的不足近似当增大时不减，即有；节余近似当n增大时不增，即有命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（此中为的位不足近似，为的位节余近似）命题应用1设为实数，证明存在有理数，满足证明：由，知：存

4、在非负整数n，使得令，则r为有理数，且即数学分析知识点总结3、实数常用性质（详见附录）1）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）还是实数2）有序性：，关系，三者必居其一，也只居其一.3）传达性：，4）阿基米品德：使得5）茂密性：两个不等的实数之间总有另一个实数6）一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系2设，证明：若对任何正数，有，则（提示：反证法利用“有序性”，取）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数的绝对值的定义为2、几何意义从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离表示就是数轴上点与之间的距离3、性质数学分析知识点总结1）（非负性）；2）；3

5、），；4）对任何有（三角不等式）；5）；6）（）三、几个重要不等式1、2、均值不等式:对记(算术均匀值)(几何均匀值)(调停均匀值)有均匀值不等式:即：nna1a2a1a2an11ann1a1a2an等号当且仅当时建立.数学分析知识点总结3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学xx证明过)有不等式当且,且时,有严格不等式证：由且nn(1x)nn(1x).(1x)n1nx.4、利用二项xx获取的不等式:对由二项xx(1h)n1nhn(n1)h2n(n1)(n2)h3hn,2!3!有上式右端任何一项.练习P45课堂小结：实数：.作业P41(1)，2(2)、(3)，32数集和确界原理讲课章节：

6、第一章实数集与函数2数集和确界原理教课目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清楚看法.教课要求：数学分析知识点总结掌握邻域的看法；理解实数确界的定义及确界原理，并在相关命题的证明中正确地加以运用.教课要点：确界的看法及其相关性质（确界原理）.教课难点：确界的定义及其应用.教课方法：解说为主.教课程序：先经过练习形式复习上节课的内容，以检验学习成效，今后导入新课.前言上节课中我们对数学分析研究的要点问题作了简要谈论；今后又让大家自学了第一章1实数的相关内容.下边，我们先来检验一下自学的成效如何！1、证明：对任何有：(1)；(2).（）（）2、证明：.3、设，证明：若对任何正数有，则.数学分析

7、知识点总结4、设，证明：存在有理数满足.引申：由题1可联想到什么样的结论呢？这样思虑是做科研时的常常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想一想，能否详尽问题引出一般的结论：一般的方法？由上述几个小题可以领悟出“大学数学”习题与中学的不一样；理论性强，看法性强，推理有理有据，而非凭想象象；课后未部署作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差异，赶忙掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集R中的两类主要的数集区间与邻域；2、谈论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）设且.，此中开区

9、)xaxa.（4）点的左邻域和点的空心左邻域数学分析知识点总结U(a;)(a,aU(a)xaxa;U0(a;)(a,a)U0(a)xaxa.（5）邻域，邻域，邻域（此中M为充分大的正数）；U()xxM,U()xxM二、有界集与无界集1、定义1（上、下界）：设为中的一个数集.若存在数，使得全部都有，则称S为有上（下）界的数集.数称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集.闭区间、开区间为有限数）、邻域等都是有界数集，会集也是有界数集.若数集S不是有界集，则称S为无界集.等都是无界数集,会集也是无界数集.注：1）上（下）界若存在，不独一；2）上（下）界与S的关系如何？看下例：

10、例1谈论数集的有界性.数学分析知识点总结解：任取，明显有，所以有下界1；但无上界.因为假设有上界M,则M0，按定义，对任意，都有，这是不行能的，如取则，且.综上所述知：是有下界无上界的数集，因此是无界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无穷区间都是无界集；（3）由有限个数构成的数集是有界集.问题：若数集S有上界，上界是独一的吗？对下界呢？(答：不独一，有无量多个).三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数满足：(1)对全部有（即是S的上界）;(2)对任何，存在，使得（即是S的上界中最小的一个），则称数为数集S的上确界，记作从定义中可以得出：上确界就是上

11、界中的最小者.命题1充要条件1）；2）.证明：必需性，用反证法.设2）不行立，则，与是上界中最小的一个矛盾.数学分析知识点总结充分性（用反证法），设不是的上确界，即是上界，但.令，由2），使得，与是的上界矛盾.定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对全部有（即是S的下界）；（2）对任何，存在，使得（即是S的下界中最大的一个），则称数为数集S的下确界，记作.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.命题2的充要条件：1）；2）0，上确界与下确界统称为确界.3（1）则1；0.2）则1；0.注：非空有界数集的上（或下）确界是独一的.命题3：设数集有上（下）确界，则这上（下）确界必是

12、独一的.证明：设，且，则不如设有对，使，矛盾.例：，数学分析知识点总结则有.开区间与闭区间有相同的上确界与下确界4设和是非空数集，且有则有.5设和是非空数集.若对和都有则有证明：是的上界,是的下界,6和为非空数集,试证明:证明：有或由和分别是和的下界,有或即是数集的下界,又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有于是有.综上,有.数集与确界的关系:确界不必定属于原会集.以例3为例做解说.确界与最值的关系:设为数集.（ 1）的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.数学分析知识点总结（2）非空有界数集必有确界(见下边的确界原理),但未必有最.（3）若存在,必有对下确界有近似的结论.确界原理

13、:Th1.1(确界原理).设非空的数集.若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明非空，我们可以找到一个整数，使得不是上界，而是的上界.而后我们遍查和，我们可以找到一个，使得不是上界，是上界，假如再找第二位小数，这样下去，最后获取，它是一个实数，即为的上确界.证明：（书上对上确界的状况给出证明，下边讲对下确界的证明）不如设中的元素都为非负数，则存在非负整数，使得1），有；2）存在，有；把区间10均分，分点为n.1，.2，,.9,存在，使得1），有；2）存在，使得再对开区间10均分，同理存在，使得1）对任何，有；2）存在，使连续重复此步骤，知对任何，存在使得1）

14、对任何，；数学分析知识点总结2）存在，所以获取以下证明（）对任意，；（）对任何，存在使作业：P91（1），（2）；2；4（2）、（4）；3函数看法讲课章节：第一章实数集与函数3函数看法教课目的：使学生深刻理解函数看法.教课要求：（）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟习函数的各种表示法；（）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教课要点：函数的看法.教课难点：初等函数复合关系的分析.教课方法：课堂解说，辅以发问、练习、部分内容可自学.数学分析知识点总结教课程序：前言关于函数看法，在中学数学中已有了初步的认识.为便于今后的学习，

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