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1、培优专题2 勾股定理及应用 勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠,在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”数学家陈省身说过:“欧几里德几何的主要结论有两个,一个是三角形内角和定理,另一个就是勾股定理”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球,作为地球人与其他星球人“交谈的语言,用于探索宇宙的奥秘” 勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一,也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理,许多求线段长、角的大小;线段与线段,角与角,线段与角间的关系等问题,常常都用勾股定理或逆定理来解决因此,勾股定理及应用是中考竞赛等考查的重要内容 例1 已知一直角三角形的斜边长是2,周长是2+,求这个三角形的面积
2、分析 由斜边长是2,周长是2+,易知两直角边的和是,又由勾股定理可知两直角边的平方和为4,列关于两直角边的方程,只需求出两直角边长的积,即可求得三角形的面积本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧,要熟练掌握 解:设直角三角形的两直角边为a、b,根据题意列方程得: 即 式两边同时平方再减去式得: 2ab=2, ab= S=因此,这个三角形的面积为 练习11已知:如图2-1,AD=4,CD=3,ADC=90,AB=13,ACB=90,求图形中阴影部分的面积2-12已知:长方形ABCD,ABCD,ADBC,AB=2,ADDC,长方形ABCD的面积为S,沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形,
3、求这个新长方形的对角线的长 3若线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比值可以是( ) A1:2:4 B1:3:5 C3:4:7 D5:12:13 例2 如图2-2,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A、C重合,若其长BC为a,宽AB为b,则折叠后不重合部分的面积是多少? 分析 图形沿EF折叠后A、C重合,可知四边形AFED与四边形CFED全等,则对应边、角相等,AF=FC,且FC=AE,则ABFADE,由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积 解:图形沿EF折叠后A、C重合, 2-2 四边形AFED与CFED关于EF对称, 则四边形AFED四边形CFED AFE=CFE AF=
4、FC,D=D=B=90 AB=CD=AD ADBC, AEF=EFC AEF=AFE 则AE=AF RtABFRtADE 在RtABF中,B=90, AB2+BF2=AF2 设BF=x,b2+x2=(a-x)2, x= 2-3 S=2SABF=2bx=2b= 练习21如图2-3,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C的位置上,已知AB=3,BC=7,重合部分EBD的面积为_2如图2-4,一架长2.5m的梯子,斜放在墙上,梯子的底部B离墙脚O的距离是0.7m,当梯子的顶部A向下滑0.4m到A时,梯子的底部向外移动多少米?2-4 3如图2-5,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将该矩
5、形折叠,使C点与A点重合,则折叠后痕迹EF的长为( )A3.74 B3.75 C3.76 D3.772-5 例3 试判断,三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n为正整数)的三角形是否是直角三角形? 分析 先确定最大边,再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形 解:n为正整数, (2n2+2n+1)-(2n2+2n) =2n2+2n+1-2n2-2n=10, (2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2+2n+1-2n-1=2n20 2n2+2n+1为三角形中的最大边 又(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, (2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8
6、n3+8n2+4n+1 (2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2这个三角形是直角三角形 练习3 1若ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则ABC是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形2如图2-6,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=BC,猜想AF与EF的位置关系,并说明理由 2-6 3ABC中的三边分别是m2-1,2m,m2+1(m1),那么( ) AABC是直角三角形,且斜边长为m2+1 BABC是直角三角形,且斜边长为2m CABC是直角三角形,但斜边长由m的大小而定 DABC不是直角三角
7、形 例4 已知:如图2-7所示,ABC中,D是AB的中点,若AC=12,BC=5,CD=65 求证:ABC是直角三角形 分析 欲证ABC是直角三角形,在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长,比较困难;但注意到CD是边AB的中线,我们延长CD到E,使DE=CD,从而有BDEADC,这样AC、BC、2CD就作为BCE的三边,再用勾股定理的逆定理去判定 证明:延长CD到E,使DE=CD,连结BE 2-7 AD=BD,CD=ED,ADC=BDE ADCBDE(SAS) BE=AC=12 A=DBE ACBE 在BCE中,BC2+BE2=52+122=169 CE2=(2CD)2=(26.5)2=16
8、9 BC2+BE2=CE2 EBC=90 又ACBE, ACB=180-EBC=90 ABC是直角三角形 练习4 1已知a、b、c为ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a2-b2,试判断ABC的形状 先阅读下列解题过程: 解:a2c2-b2c2=a4-b4, c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2) c2=a2+b2 ABC为直角三角形 问:(1)上述推理过程,出现错误的一步是_; (2)本题的正确结论是_2如图2-8,ABC的三边分别为AC=5,BC=12,AB=13,将ABC沿AD折叠,使AC落在AB上,求折痕AD的长3如图2-9,ABC中,ACB=90,AC=BC,P是ABC
9、内一点,满足PA=3,PB=1,PC=2,求BPC的度数2-9 例5 如图2-10,ABC中,AB=AC=20,BC=32,D是BC上一点,且ADAC,求BD的长 分析 若作AEBC于E,如图2-11,利用勾股定理可求出AE=12,AD是RtADC的直角边 AD=CD-AC,若设DE=x,借助于AD这个“桥”可以列出方程 解:作AEBC于E 2-10 AB=AC,AEBC, BE=EC=BC=32=16 在RtAEC中, AE2=AC2-CE2=202-162=144, AE=12 2-11 设DE=x, 则在RtADE中,AD2=AE2+DE2=144+x2, 在RtACD中,AD2=CD2
10、-AC2=(16+x)2-202 144+x2=(16+x)2-202 解得x=9BD=BE-DE=16-9=7 练习5 1如图2-12,ABC中,C=90,M是BC的中点,MDAB于D求证:AD2=AC2+BD22-122如图2-13,ABAD,AB=3,BC=12,CD=13,AD=4,求四边形ABCD的面积2-13 3如图2-14长方体的高为3cm,底面是正方形,边长为2cm,现有绳子从A出发,沿长方形表面到达C处,问绳子最短是多少厘米?2-14答案:练习1124(提示:利用勾股定理即可求出)2长方形的对称轴有2条,要分别讨论: (1)以A、B为对称点(如图) S=ABBC,AB=2,
11、BC=AD= 根据对称性得DF=AB=1 由于D=90,据勾股定理得: AF= (2)以A、D为对称点(如图) BF=BC=由B=90,据勾股定理得: AF=3D练习21(提示:利用RtABE的勾股定理即可求出)20.8m 3B练习31B2AFEF(提示:连结AE,设正方形的边长为a,则DF=FC=,EC=,在RtADF中,由勾股定理得: AF2=AD2+DF2=a2+()2=a2同理:在RtECF中,EF2=()2+()2=a2,在RtABE中,BE=a,则AE2=a2+a2=a2 a2+a2=a2, AF2+EF2=AE2 AFE=90 AFEF3A(点拨:利用勾股定理的逆定理来判定)练习41(1)、 (2)ABC为直角三角形或等腰三角形2AC2+BC2=52+122=132=AB2, C=90 将ABC沿AD折叠,使AC落在AB上,C的对称点为E(如图) CD=DE, AC=AE=5 则ACDAED 又BE=AB-AE=8 设CD为x,则x2+82=(12-x)2 解之得x= AD2=52+()2 AD=3过点C作CECP,并截CE=CP=2,连结PE,BE(如图) ACB=PCE=90, ACB-PCB=PCE-PCB 即ACP=BCE PCAECB(SAS) BE=AP=3 在RtPCE中, PE2=PC2+CE2=8 又BP2=1,BE2=9, BE2=BP2+PE2