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1、填空题（共40分）1. N个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为r， 系统的自由度为（Nr ）,系统的状态可以用（2Nr ）维空间中的 一个代表点表示。2对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为Q, 则每一微观状态出现的概率为（1/Q ）,系统的熵为）。(kln Q3. 玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容 原理）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0 W fs W 1。dU 二工 a de +5. i 14. 玻色系统和费米系统在满足（经典极限条件（或e-a 1） 条件时，可以使用玻尔兹曼统计。da11 11给出内能变化的两个原因，其
2、中（da ）项描述传热,1 1 （E a d&）项描述做功。1 1=(0)。06.对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（升高）； 如果温度足够低，则会发生（玻色一一爱因斯坦凝聚），这时系统的 能量U =（0），压强p =（0），熵S0 0,粒子的平均能量为（2kT -7.已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为 （p 2 + p 2 + p 2） + ax 2 + bx2m x y zbz/4a ）,8. 当温度（很低）或粒子数密度（很大）时，玻色系统与费米系统 的量子关联效应会很强。9. 如果系统的分布函数为p，系统在量子态s的能量为E，用p和E 表示：系统的平均能量为（E二
3、Zp E ），能量涨落为（E p （E - E）2 ）（如写成 E2 - （E）2 也得分）。s s10.与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数p $具有特点 （dp / dt=0或与时间无关等同样的意思也得分），同时p也满ss足归一化条件。二.计算证明题（每题10分，共60分） 1.假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0,000,33 ,。，而且都是非简并的，如果系统含有6个分子，问:（1）与总能量33相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条 件是什么？（2）根据公式Q a = N- 口 a】计算每种分布的微观态数Q；1 n a ! 111（3）确定各种分布的概率。解
4、：能级： ， ， ，1234能量值：0，3， 23， 33，简并度：1, 1, 1, 1,分布数：a, a, a, a, 1234分布a 要满足的条件为：工a二N二6llla 8 二 E 二 3i ii满足上述条件的分布有：A： a=5,0,0,1,0,.iB： a = 4,1,1,0,0,. iC： a,= 3,3,0,0,0,. Q =-L xl = 6; a 5X1!各分布对应的微观态数为：Q =一6!xl = 30;B 4X1X1!6!Q =一- xl = 20 c 3!x 3!所有分布总的微观态数为：Q = Q +Q +Q = 6 + 30 + 20 = 56ABCp =Q /Q =
5、 6/56 = 0.107;AA各分布对应的概率为：p =Q /Q = 30/56 = 0.536;BBp =Q /Q = 20/56 = 0.357;CC2表面活性物质的分子在液面(面积为A)上做二维自由运动，可以看 作二维理想气体，设粒子的质量为m总粒子数为N。(1) 求单粒子的配分函数Z ；1(2) 在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x到x + dx, y到y+ dy内，动量在p到p +dp , p到p +dp内的分子数dN；xxxyyy(3) 写出分子按速度的分布；(4) 写出分子按速率的分布。解：(1)单粒子的配分函数z =丄e-丈(。xf2) dxdydp dp = (2兀mk
6、T)1 h 2x y h 2dxdydp dp N dxdydp dp2) dN = e-(+Ps)x y =e-Psx yh2Zh 21(3)将(1)代入(2),并对dxdy积分，得分子按速度的分布为mdN = N()e-(v 2 + v 2)dv dvv2兀 kTx y x y(4 )有(3 )可得分子按速率的分布为：mmv2mmv2)e- 2 kTvdv = N ()e-2 kTvdv2兀kTkT=一13.定域系含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级 =，其中大于零且为外参量y的函数。求：2 0 0(1) 温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在极端高温和极端低
7、温时粒子数比的特点；(2) 系统的内能和热容量；(3) 极端高温和极端低温时系统的熵。解：(1)单粒子的配分函数为：Z =工e-Pel二e-阻+ e-Ps2二ePe0 + e-Pe01l处于基态的粒子数为：N = N 佟 ;1 Ze 卩s + e-卩si处于激发态的粒子数为：N = e-Ps2 = N;2 Ze 肽0 + e-卩i温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：N = e-卩 0 = e- kTNe 3eo PiekT极端高温时：kT0即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同;极端低温时：kT,0即粒子几乎全部处于基态。的 内e-Pe0 - ePe00 e - Pe0
8、 + e Pe0热容量：cv =(孰=- (叙=卷e-Pe e Pe1 - (eo e 2e - Pe0 + ePe0( 2 )Q ln Z6U =- N 1 = - Nln(e Pe0 + e-Pe0) = N eQPQP(3)极端高温时系统的熵：S = k In 0 = k ln2N = Nk ln2极端低温时系统的熵：S=04对弱简并的非相对论费米气体，求:(1) 粒子数分布的零级近似f与一级修正项 f;0 1(2) 证明：与零级近似相比，粒子数的相对修正量和内能的相对修正量 均正比于e-。1解：费米气体分布函数为：f =e+Pe +1f D (e )deJ0AU JAf Ie D(e
9、)de=1x e-aU J f eD(e)dee_匕-卩 (1 e-e- e-2a-2(1 ) f = e-a-pe1 + e -a-Pef = e-a-pe ,f = e-2a-2ps0 1(2) D(e)de= CVe；deAN JfD (e )d e J e 2“ CV e ； d e= 丄=X e-aN J f D(e )dee-a-pe CV e 2 d e5. 金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n,(1)简述：T = OK时电子气体分布的特点，并说明此时化学势的意义;-3&= _ p(2) 证明：T = OK时电子的平均能量05 0fT=OK1 (3) 近似计算：在室温下
10、某金属中自 由电子的热容与晶格热容之比。(1) M。表示T = OK时电子的最能量。 电子从 =0的能级开始，先占据低能 级，然后占据高能级，遵从泡利不相容 原理。f = 1 （ 卩）0Jp0 8 fD（8）d808CV8 2 d 8Jp0 8 2d 8fD （8 ）d 80 CV8 2 d 82 U 2 UN 20232p = =8 n = p n = p n03 V 3 NV 3 035。5 0111（3）T0K 时：f- （8p）； f 二-（8=p）； f- （8p） 22T0K时，只有在卩附近kT量级范围内的电子可跃迁到高能级，对CVeffeff有贡献，设这部分电子的数目为N ,则N
11、 “= Nk。每一电子对C的贡献为3kT/2,则金属中自由电子对Cv的贡献为 小 3, “3k Tk 3Nk kT3Nk kT3Nk T xC e = k X N = N =()=()=()V 2 eff 2 p 2 p 2 kT 2 TC e 1 T晶格的热容量为 Cv = 3Nk，+ = T 0（T :104 -105）C 2 fvf6. 固体的热运动可以视为3N个独立简正振动，每个振动具有各自的简力U = U +丫 a正频率3 i,内能的表达式为：。i e冋kT -1，式中的求和遍及所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。(1)写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加以 简单说明；(2)用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量;(3) 用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于T3。解：(1)爱因斯坦模型：N个分子的振动简化为3N同频率(3 )的简1谐振动，每个振子的能级为8n二(n + -)h；德拜模型：N个分子的振动简化为3N个简正振动，每个振子的 频率不同，且有上限3 D，D()d二B32d.p知0 爱因斯坦模型：Z =工 e-P8i =工e卩加(n+2) = e 2 ii中 国 海 洋 大 学 命 题 专 用 纸（附页）学年第 学期共 页 第试题名称 ：
