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1、课后跟踪训练(五十九)基础巩固练一、选择题1(2019江西吉安一中、九江一中等八所重点中学联考)已知点P(3，)为双曲线y21(a1)上一点，则它的离心率为()A. B C D2解析将点P的坐标代入双曲线方程得21，解得a23，故c2314，所以离心率e .故选B.答案B2(2020北京朝阳区期末)已知双曲线C：1(a0)的一条渐近线方程为4x3y0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|7，则|PF2|()A1 B13 C17 D1或13解析由题意知双曲线1(a0)的一条渐近线方程为4x3y0，可得，解得a3，所以c5.又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，
2、点P在双曲线上，且|PF1|7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|PF1|6，可得|PF2|13.故选B.答案B3(2020广东华南师范大学附属中学月考)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆1有相同的焦距，一条渐近线方程为x2y0，则双曲线C的方程为()A.y21或y21Bx21或y21C.y21Dy21解析在椭圆1中，c，焦距2c2.双曲线C与椭圆1有相同的焦距，一条渐近线方程为x2y0，设双曲线方程为y2(0)，化为标准方程为1.当0时，c，解得1，则双曲线C的方程为y21；当2，e.故选C.答案C5(2019山东烟台模拟)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，过点F
3、向双曲线C的一条渐近线作垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，O为坐标原点若|OF|FB|，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx By2xCyx Dyx解析如图，过点F(c,0)向双曲线C的另一条渐近线作垂线，垂足为D，双曲线的渐近线方程为yx，则点F(c,0)到渐近线的距离db，即|FA|FD|b，则|OA|OD|a.又由|OF|FB|，所以OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，|AB|bc，|OB|2a.在RtOAB中，则|OB|2|OA|2|AB|2a2(bc)2，即4a2a2(bc)2，整理得c2bc2b20，解得c2b.又由c2a2b2，则a2b24b2，即，所以双曲线C的渐近线方程为
4、yx.故选A.答案A二、填空题6中心在原点，有一条渐近线方程为2x3y0，对称轴是两坐标轴，且过点(2,2)的双曲线方程为_解析令双曲线方程是4x29y2k(k0)，点(2,2)的坐标代入得k20.双曲线方程是1.答案17(2020银川第二中学月考)若以双曲线1(b0)的左、右焦点和点P(1，)为顶点的三角形为直角三角形，则b等于_解析设双曲线1(b0)的左、右焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，依题意，kPF1kPF21，c23，b21，b1.答案18(2019湖北襄阳优质高中模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线与直线2xy10垂直，则双曲线的离心率
5、为_解析设双曲线方程为1(a0，b0)，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线与直线2xy10垂直，b2a，ca，e.答案三、解答题9.如图，已知F1、F2为双曲线1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230.求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程解(1)PF2F190，PF1F230.在RtPF2F1中，|PF1|，|PF2|PF1|，又|PF1|PF2|2a，即c2a，e.(2)对于双曲线，有c2a2b2，b .双曲线的渐近线方程为yx.10若双曲线E：y21(a0)的离心率等于，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点(1)求k的取
6、值范围；(2)若|AB|6，求k的值解(1)由得故双曲线E的方程为x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.直线与双曲线右支交于A，B两点，故即所以1k.故k的取值范围为(1，)(2)由得x1x2，x1x2，|AB|26，整理得28k455k2250，k2或k2.又1k0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|2|PF2|.若cosF1PF2，则该双曲线的离心率等于()A. B C2 D1解析由题意得|PF1|4a，|PF2|2a，所以cosF1PF2，所以c24a2，所以e2.故选C.答案C12已知双曲线C：1(a0，b0)的
7、右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为()A. B C D2解析易知双曲线的渐近线方程为yx，则点F(c,0)到渐近线的距离为b，即圆F的半径为b.令xc，则yb ，由题意，得b，即ab，所以双曲线的离心率e ，故选C.答案C13(2019武汉模拟)已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_解析由题可知A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)，(2x，y)，x2x2y2x2x23(x21)4x2x5.因为x1，函数f(x)4x2x5的图象的对称轴为x
8、，所以当x1时，取得最小值2.答案214(2019河北衡水中学模拟)已知F1(c,0)，F2(c,0)为双曲线C：x21(b0)的左、右焦点，过点F2作垂直于x轴的直线，并在x轴上方交双曲线于点M，且MF1F230.(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C上一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2，试求|PP1|PP2|的值；(3)过圆O：x2y2b2上任意一点Q(x0，y0)作切线l，分别交双曲线C于A，B两个不同点，AB中点为N，证明：|AB|2|ON|.解(1)根据已知条件得a1，c，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)MF2x轴，M(，b2)在RtMF1F2中，tan30，解得b
9、22.双曲线C的方程为x21.(2)根据(1)易得双曲线两条渐近线方程分别为l1：xy0，l2：xy0.设点P(x0，y0)，则|PP1|d1，|PP2|d2.又P(x0，y0)在双曲线上，2xy2.|PP1|PP2|d1d2(2xy).(3)证明：当直线l的斜率不存在时，则ABF1F2，于是|AB|2，|ON|，此时|AB|2|ON|.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消去y得(2k2)x22kmxm220.则N为AB的中点，xN，即N坐标为.则|ON| .|AB| .又点O到直线l的距离d，所以|m|，m22(k21)代入得|AB|，|O
10、N|，故|AB|2|ON|.综上所述，|AB|2|ON|.拓展延伸练15(2019湖北稳派教育联考)设点F1，F2分别是双曲线C：1(a0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点若ABF2的面积为2，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析设F1(c,0)，A(c，y0)，则1，1，y，|AB|2|y0|.又SABF22，2c|AB|2c2，.双曲线C的渐近线方程为yx.故选D.答案D16(2020厦门一中检测)图(1)为陕西历史博物馆收藏的国宝唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细工的典范之作该金杯的主体部分可近似
11、看作是双曲线C：1的右支与直线x0，y4，y2围成的曲边四边形MABQ绕y轴旋转一周得到的几何体，如图(2)N，P分别为C的渐近线与y4，y2的交点，曲边五边形MNOPQ绕y轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅原理(祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等)求得据此，可求得该金杯的容积是_(杯壁厚度忽略不计)解析由题意得双曲线C的渐近线方程为yx.令ym(2m4)，如图，记直线ym与y轴、渐近线、双曲线C的右支的交点分别为D，E，F，线段EF绕y轴旋转一周得一圆环由得x，|DE|2.由得x23，|DF|23，|DF|2|DE|23，所得圆环的面积为3.由祖暅原理知曲线五边形MNOPQ旋转一周所得几何体的体积等于底面积为3，高为6的圆柱的体积，即18.由得x，|AN|.由得x，|BP|.RtOAN绕y轴旋转一周所得圆锥的体积为24，RtOBP绕y轴旋转一周所得圆锥的体积为22.故金杯的容积为1826.答案26
