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1、传播优秀Wxd版文档於望对您有帮助.可双击去除！第二章曲面论高斯曲率的计算公式高 斯曲率绝妙定理_ LN-M2 _K =件2 eg F?注意（,丫兀，舄）SJEG-F-扛一】M = f=yjEG-F2所以a_LN-M2K = EG-F2站腐兀舄,M,和-(E,忌和Fl,利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得腐犹凡）腐犹忑）一（E兀/ - 忆， rWV（和兀,rK E讥乙尤EFr - fEFr rH计u ttvFGr rFGf - fV vvV必加广rvr. v. r* r. uu nitv uvr r frv tt%，；，0UU it ut（ v utt a wv tn m* tt ur v（
2、其中用到行列式按第三行展开计 算 的性质。）利用严E,丘讥二尸，n-K=G,可得 E .卧g 垃，E rm =*E”，二扣，二钗，兀讥二代一仇，由于.心一和和=忆“候+E 礼）一 （E心 “+丘， u=（兀-心）“一忆舄人=（代一或者二代“；丘心一M=（矗-兀人一（兀（代-*）一（* G 几禺厂言羊-【GVV于是得到1小、1 2-G2 vFEFFG2 r uv 州公式被称为高斯定理；且被誉为高斯绝妙定理。将上式中的行列式按第三列展 开，并化简，可得K =1 E(EG -2FG +G2)4(EG-F2)2“+F(EG、，EG-2E F、+ 4FFv -2FG)+6但爬寸2点广人-2(EG-尸)(
3、耳,_2 + ), (2)高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯 曲率可以只用第一类基本量及其导数表 示，从而K事实上是曲面的一个内蕴不变量。高斯曲率用第一类基本量明确 的表达式 由Brioschi公式（1）给出。存在等距对应的两曲面，曲面上 对应点 处的高斯曲率必相等。球面片与平面片之间不存在等距对应。r122r1H 厂 211(EG-F2)2 0.此时人=_jrAln2O例求第一基本形式为心一船壬的曲面高斯曲率。解因为一（2+ +c ） 2, F，所以* = _土（匝）+（阻）Veg1 Je Jg ）,jM+/+C 2 誉吕+普存皿o（w +v +c）（ 14 +v +C）例求第一基本形式为I =
4、 (du)2 + G 皿 v)(dv)2的曲面上的高斯曲率。由（3）式，得一存“ +占g 法（。半测地坐标网下，传播优秀Wxd版文档於望对您有帮助.可双击去除！高斯曲率的计算公式在C?类曲面S : r =r(w,v)上选一条测地线厂为一曲线：w = 0；再取与厂正交的测地线族为 曲线，另 取这测地线族的正交轨 线为一曲线，则得一半测 地坐标网。对于这个半测地坐标网而言，曲面的 第一基本形式可以简化为I = (du)2 + G(u, v)(dv)2其中G(,v)满足条件G(0, v) = 1, Gu (0, v)=0在曲面上选取了半测地坐标网后，曲面的高斯曲率有如下的计算公式1 近 yfcdu2
5、常高斯曲率的曲面现在设曲面为的高斯曲率是常 数，即二常数，则得微分方程b、WG=o根据初始条件:G(, v) = 1, G (, v)我们可按以下不同情形求出这个 微分方程的 解。正常数高斯曲率的曲面，K0,止匕日寸% _ cos -n/6 cos yjKu + b(v)sin根据初始条件，可得A(v) = 1, B(v) 于是v g - cos Ku ,I = (du)2 +cos2 y/Ku(dv)2实例：考虑球心在原点，半径为r的球面。取赤道为最初给定的测地线，则所有经线是 与赤道正交的测地线，所有纬线是这测地线族的 正交轨线，因此球面上的经线和纬线构成半测 地坐标网。设球面上点的经度为
6、v,纬度为，则球面的参数 表示是r - 7?(COS cos v, COS sin v, sin u) oru = R( sin u cos v, - sin u sin v, cos u), rv - R(- cos u sin v, cos w cos v, 0), Ef 兀二兀兀二 0，G = E，兀=K2 cos2 u ,1 = R2(du)2 + R2 COS2 u(dv)2 o在球面上重新选择 参数，命u = Ru.v Rv于是I = (du)2 + C0S2 (dv)2R高斯曲率K-1 *品一1(肿1K 忌苛_卫陀-正，R因此得到I = (du)2 + COS2 a/Fm( 6/
7、v ,所以正常数高斯曲率的曲面的第一基本形式与 球面的相同。正常数高斯曲率的曲面与同高斯曲率的球面之 间存在着保距变换。(2) K = 0,从而有因此1 =（血）2+ （加）2,所以零高斯曲率的曲面的第一基 本形式与平面 的相同。（3）负常数高斯曲率的曲面，K0,止匕日寸y/G = A (y) chJ-Ku + B(y)shy-Ku根据初始条件，可得A(v) = 1, B(v) = 0于是 vg = chKTKu ,I = du)2 + chN-Ku(dv)2 o由此可知，具有相同常数高斯曲率的曲面都可 适当选取参数，使曲面具有相同的第一基本形 式，因此可建立等距对应.由上述定理知道，具有常数
8、高斯曲率的曲面（这种曲面称为常曲率曲面）可按KX）;K= Q;K 0分成 三种类型.而属于同一类型的曲面 它们的 内在几何是相同的.平面作 为高斯曲率为零的代 表；球面作为 高斯曲率为正常数的代表.换句话 说，高斯曲率为零的曲面都可以与 平面建立等距对应，高斯曲率为正常数的曲面都可以与球面建 立等距对应.那么自然会问什么曲面可以作 为高斯曲率为 负常数的代表？设,我们可以在旋转曲面中找出这个代表.设旋转曲面的待定母线为O战平面中的曲线“呦.把它绕N轴旋 转后形成了旋转面r (x(Z) cos 0, x(t) sin 0, z(f)；代入旋转曲面的高斯曲率公式_玖少七)-0(少0)*(022得其
9、高斯曲率为K 二 zG)z(Q一兀l + (Z)22为了使这个曲面的高斯曲率K =-12所以待定函数“步)就必须满足下列方程：如z”(x) xl + (zW1 2 将其改写成l + (Z)2于是可解出两边积分后得到取积分常数C严。X2+(zVW2 二/ ,由此得出如二土业工,XdC.赤Xx = wsinr,1 (AW)2r _ 1 1 乙2y 21+(ZW2”2?a 八则土型讥。的*匕口力a血in/-sin/) Jr =a(J 一、，前，2 tanq、于是22Z = f/(ln tan + cos t) o2因此，以母线X = a sin tz = “ (In tan f + cosF)绕Z
10、一轴旋转后所得的旋转曲面的高斯曲率正好等于负常数K=*。我们把母线(4. 4)称为曳物线.而把曳物线绕n-轴旋转后所得 的曲面称为伪球面.由著名的高斯定理，曲面的高斯曲率 做其第一基本形式完全确定.因此，若两 个曲面可建立等距对应，则对应点的高斯 曲率必相等.但反之则不然.【例1】证明：曲面5:r =(wcosv,wsinv,v),(正螺面)5 :斤二(u cos Vj, ux sin v, In ux),(旋转 曲面)在点(,v) I J (”处的高斯曲率相等，但曲面S与八不存在等距对应.【证明】容易算出正螺面S与旋转曲面S的第一基本形式分别为I = (du)2 +(W2 + l)(t/v)2,I=(l + )(dul)2+ul2(dvl)2ux再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即 高斯方程)&尊斗】 ECj jc经过计算得出曲面S和/的高斯曲率分别 为K(/+l)2 ,1他 2 T1)2因此取对应点(心血)，便成立K = K但是曲面S与S.不存在等距对应. 我们用反证法.若曲面s与/之间 存在等距对应，它的对应关系为n则对应点的高斯曲率必相等，所以得出K(%*) = K(s),即(“2+1)2 二叶+)2 ,或(沪+ 1) = 土(详+ 口(1)若(沪 n则U2或U =41) = (if 2 + 1)=M2+W.因此对应关系为忙舄，这时的第一基本形式I = (1)(
