《新版数学理一轮教学案：第六章第4讲 数列求和、数列的综合应用 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新版数学理一轮教学案：第六章第4讲 数列求和、数列的综合应用 Word版含解析（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 1第4讲数列求和、数列的综合应用考纲展示命题探究数列的求和方法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和等差数列的前n项和公式：Snna1d.等比数列的前n项和公式：Sn常见数列的前n项和公式：a123n；b2462nn2n；c135(2n1)n2；d122232n2；e132333n32.(2)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和常见的裂项公式有：；.(4)
2、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的(5)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减注意点裂项相消法求和时注意事项(1)在把通项裂开后，应验证其是否恰好等于相应的两项之差(2)在正负项抵消后，应注意是否只剩下第一项和最后一项，有时是前面剩下两项(或几项)，后面也剩下两项(或几项).1思维辨析(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式Sn较为合理()(2)如果数列an为等比数列，且公比不
3、等于1，则其前n项和Sn.()(3)当n2时，.()(4)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(5)如果数列an是周期为k的周期数列，那么SkmmSk(m，k为大于1的正整数). ()答案(1)(2)(3)(4)(5)2数列12n1的前n项和为()A12n B22nCn2n1 Dn22n答案C解析由题意得an12n1，所以Snnn2n1，故选C.3在10到2000之间，形如2n(nN*)的各数之和为()A1008 B2040C2032 D20xx答案C解析S2425210(271)242032.考法综述高考中主要考查等差等比数列的前n项和公式及非等
4、差等比数列的求和方法一般综合性较强，对分析能力、运算能力要求高命题法给出数列求和典例(1)已知等差数列an，公差d0，前n项和为Sn，且满足a2a345，a1a414.求数列an的通项公式及前n项和Sn；设bn，若bn也是等差数列，试确定非零常数c，并求数列的前n项和Tn.(2)数列an的前n项的和为Sn，对于任意的自然数an0,4Sn(an1)2.求证：数列an是等差数列，并求通项公式；设bn，求和Tnb1b2bn.解(1)依题意得，解得或(舍去)，an4n3，Sn2n2n.由知bn.数列bn是等差数列，则2b2b1b3，即2，解得c，bn2n.则，Tn.(2)证明：令n1,4S14a1(a
5、11)2，解得a11，由4Sn(an1)2，得4Sn1(an11)2，两式相减得4an1(an11)2(an1)2，整理得(an1an)(an1an2)0，an0，an1an2，则数列an是首项为1，公差为2的等差数列，an12(n1)2n1.由得bn，Tn，Tn，得Tn22，所以Tn1.【解题法】错位相减法求和的步骤步骤1写出Snc1c2cn；步骤2等式两边同乘以等比数列的公比q，即qSnqc1qc2qcn；步骤3两式错位相减转化成等比数列求和；步骤4两边同除以1q，求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论1.数列an的通项公式是an，若Sn10，则n的值是()A11 B99C120 D121
6、答案C解析an，Sn(1)()()()()1.令Sn10，解得n120.故选C.2在正项等比数列an中，a11，前n项和为Sn，且a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为()A125 B126C127 D128答案C解析设数列an的公比为q(q0)，a3，a2，a4成等差数列，2a2a4a3，2a1qa1q3a1q2，解得q2或q1(舍去)，S7271127.故选C.3.设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意有，即解得或故或(2
7、)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.4数列an满足：a12a2nan4，nN*.(1)求a3的值；(2)求数列an的前n项和Tn；(3)令b1a1，bnan(n2)，证明：数列bn的前n项和Sn满足Sn22ln n.解(1)当n1时，a141；当n2时，由a12a2nan4知，a12a2(n1)an14，两式相减得nan，此时an.经检验知，a11也满足an.综上，an，故a3.(2)由(1)知，an，故数列an是以1为首项，为公比的等比数列，故Tn2.(3)证明：由(1)(2)知，b1a11，当n2时，bnan.当n1时，S1122ln 12
8、，成立；当n2时，Sn1121212220时，f(x)f(0)0，即ln (1x)令x，n2，则ln ，从而可得ln ，ln ，ln ，将以上n1个式子同向相加即得ln ln ln ln ln n，故Sn2222ln n.综上可知，Sn22ln n.5已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.当n为偶数时，Tn
9、1.当n为奇数时，Tn1.所以Tn1等差数列与等比数列比较表等差数列等比数列通项公式(1)ana1(n1)d(1)ana1qn1(2)anam(nm)d(2)anamqnm前n项和公式Sn或Snna1dSn常用性质若m，n，p，qN*，mnpq，则amanapaq若m，n，p，qN*，mnpq，则amanapaq2数列实际应用中的常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差 (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比 (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，
10、随项的变化而变化，应考虑是an与an1的递推关系，还是前n项和Sn与前n1项和Sn1之间的递推关系3数列与函数、不等式的综合问题(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类： 已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； 已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形 (2)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题注意点等差与等比模型的区别一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题是可以通过转化得到等差或等比数列.1思
11、维辨析(1)若ln an是等差数列，则an是等比数列()(2)1bb2b3b4b5.()(3)利用函数的方法研究数列问题时应注意题目中的限制条件，尤其是定义域()(4)用数学归纳法证明与正整数n有关的数列不等式时，第一步骤证时n取的第一个值是n1.()答案(1)(2)(3)(4)2一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129)答案A解析当第10次着地时，经过的路程为：1002(502510029)100200(212229)100200(129)3设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处
