行程问题解题技巧

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1、行程问题解题技巧行程问题在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三 者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为 四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动 方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上； 如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同， 则为追及问题。相遇问题两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发 展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。相遇问题的模型为：甲从

2、 A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中 相遇，实质上是两人共同走了 A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A,B两地的路程=（甲的速度+乙的速度）X相遇时间=速度和X相遇时间基本公式有：两地距离二速度和X相遇时间相遇时间二两地距离宁速度和速度和=两地距离宁相遇时间二次相遇问题的模型为：甲从 A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在 C地 相遇，相遇后甲继续走到 B地后返回，乙继续走到 A地后返回，第二次在 D地相 遇。则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。相遇问题的核心是“速度和”问题。 利用速度和与速度差可以迅速找到问题的 突破口，从而保证了迅速解题。相离问题两

3、个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离， 求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改 变。解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和） 。 基本公式有：两地距离二速度和X相离时间相离时间二两地距离宁速度和速度和=两地距离宁相离时间相遇（相离）问题的基本数量关系：速度和X相遇（相离）时间=相遇（相离）路程在相遇 （ 相离 ） 问题和追及问题中， 必须很好的理解各数量的含义及其在数学运 算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。追及问题两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的

4、。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。解答这类问题要找 出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键是在互 相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用 公式求出第三者来达到解题目的。基本公式有：追及（或领先）的路程+速度差 二追及时间 速度差X追及时间二追及（或领先）的路程 追及（或领先）的路程+追及时间 二速度差要正确解答有关“行程问题” ，必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的 方向（相向、相背、同向） ，出发的时间（同时、不同时） ，出发的地点（同地、 不同地）、运动的路线（封

5、闭、不封闭） ，运动的结果（相遇、相距多少、追及） 常用公式：行程问题基本恒等关系式：速度X时间 二路程，即S=vt. 行程问题基本比例关系式：路程一定的情况下，速度和时间成反比； 时间一定的情况下，路程和速度成正比； 速度一定的情况下，路程和时间成正比。相遇追及问题中符号法则：相向运动，速度取和；同向运动，速度取差。 流水行船问题中符号法则：促进运动，速度取和；阻碍运动，速度取差。行程问题常用比例关系式：路程比 二速度比X时间比，即 S/S2二W/V2X tl/t2 电梯运行规律：能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）X顺电梯运动所需时间 能看到的电梯级数二（人速一电梯速度）X逆电梯运动所需时

6、间1V22V往返运动问题核心公式：往返平均速度 = （ 其中 v1 和 v2 分别表示往返的速度）v1+v23S1+S2两次相遇问题核心公式：单岸型 S= ;两岸型S=3Si-S2 （S表示两岸的距 离）2相向而行：相遇时间二距离+速度之和相背而行：相背距离 二速度之和X时间注意：同向而行追及时速度慢的在前，快的在后。在环形跑道上，速度快的在前， 慢的在后。环形运动的追击问题和相遇问题：若同向同起点运动，第一次相遇时，速度快的 比速度慢的多跑一圈；若相向同起点运动，第一次相遇时，两者路程和为一圈的 长度。解决行程问题，常以速度为中心，路程和时间为两个基本点，善于抓住不变量列 方程。对于有三个以

7、上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况 的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什 么关系。分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考。 理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。（3）甲的速度是a,乙的速度是b,在相同时间内，甲、乙一共行的At+bt=s t=s/a+b S甲 =a*t=a*s/a+b S 乙 =b*t=b*s/a+b封闭路线中的行程问题解决封闭路线中的行程问题， 仍要抓住“路程二速度X时间”这个基本关系式, 搞清路程、速度、时间三者之间的关系。封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。在求

8、两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。流水行船问题顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义 及它们之间的关系。已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度。解答这类问题， 一般要掌握下面几个数量关系：船速：在静水中的速度水速：河流中水流动的速度顺水船速：船在顺水航行时的速度逆水速度：船在逆水航行时的速度 船速+水速=顺水船速 船速水速 =逆水船速（

9、顺水船速+逆水船速）+ 2二船速（顺水船速逆水船速）+ 2二水速顺水船速二船速+水速二逆水船速+水速X2 过桥问题一列火车通过一座桥或者是钻过一个隧道，研究其车长、车速、桥长或隧道道 长，过桥或钻隧道的时间等关系的一类应用题。解答这类应用题，除了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外，还 必须注意到车长，即通过的路程等于桥长或隧道长加车长。基本公式有：桥长 +车长 =路程平均速度X过桥时间二路程过桥时间=路程宁平均速度解行程问题的方法已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行程问题。解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行

10、计算。 行程问题的基本数量关系是：速度X时间=路程路程十速度=时间路程*时间=速度行程问题常见的类型是： 相遇问题， 追及问题 （即同向运动问题） ，相离问题 （即相背运动问题） 。（一）相遇问题两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动， 随着时间的发展， 必然面对面地相遇， 这 类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。它们的基本关系式如下：总路程=（甲速+乙速）X相遇时间相遇时间=总路程+（甲速+乙速）另一个速度 =甲乙速度和 - 已知的一个速度1. 求路程

11、（ 1）求两地间的距离例1 两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56 千米，另一辆汽车每小时行 63千米，经过 4 小时后相遇。甲乙两地相距多少千米？（适于五年级程度）解：两辆汽车从同时相对开出到相遇各行 4小时。 一辆汽车的速度乘以它行驶的时间， 就是它行 驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是这辆汽车行驶的路程。两车行驶路程之和，就 是两地距离。56X 4=224（千米）63 X 4=252 (千米)224+252=476 (千米)综合算式：56 X 4+63 X 4=224+252=476 （千米）答略。例2两列火车同时从相距 480千米的两个城市出发，相向而行，

12、甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶42千米。5小时后，两列火车相距多少千米？（适于五年级程度）解：此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离480千米中，减去两车5小时共行的路程，所得就是两车的距离。480- （40+42）X 5=480-82 X 5=480-410=70 （千米） 答：5小时后两列火车相距 70千米。奥数行程问题解题方法例3甲、乙二人分别从 A、B两地同时相向而行，甲每小时第一次相遇后，都继续前进，分别到达B、A两地后又立即按原速度返回。从开始走到第二次相遇,共用了 6小时。A、B两地相距多少千米？（适于五年级程度） 解：从开始走到第一次相遇，两人

13、走的路程是一个AB之长；是3个AB之长（图35-1 ），这三个 AB之长是：行 5千米，乙每小时行4而到第二次相遇，两人走的路程总共就（5+4）X 6=54 （千米）所以，A、B两地相距的路程是：54 - 3=18 (千米)答略。例4两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶60千米，第二列火车每小时行驶55千米。两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了20千米。求甲、乙两地间的距离。（适于五年级程度）火车每小时比第二列火车多行（ 的距离。解：两车相遇时，两车的路程差是20千米。出现路程差的原因是两车行驶的速度不同，第一列60-55 ）千米。由此可求出两车相遇的时间，进而求出甲

14、、乙两地间=115X 20 - 5=460 （千米）答略。*例5甲、乙二人同时从(60+55 )X 20 -( 60-55 )A、B两地相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走 5千米，两个人在距离中点1.5千米的地方相遇。求 A、B两地之间的距离。（适于五年级程度）A B两地之间的距离。解：由题意可知，当二人相遇时，甲比乙多走了 1.5 X 2千米（图35-2 ）,甲比乙每小时多行（6-5 ） 千米。由路程差与速度差，可求出相遇时间，进而求出(6+5)X 1.5 X 2-( 6-5 )=11 X 1.5 X 2 - 1=11 X 3=33 (千米) 答略。由两车“在离中点 2千米处相遇”可知，

15、甲车比乙车少行：2 X 2=4 （千米）所以，乙车行的路程是：甲车行的路程是：A、B两站间的距离是：24+20=44 （千米）答略。同普通客车相遇。甲、乙两城间相距多少千米？（适于六年级程度）快车从乙城开出，普通客车与快车相对而行。已知普通客车每小时行60千米，快车每小时行 80千米，可以求出两车速度之和。又已知两车相遇时间，可以按“速度之和X相遇时间”，求出两车 相对而行的总行程。普通客车已行驶普通客车与快车速度之和是：60+80=140 （千米/小时）两车相对而行的总路程是：140 X 4=560 （千米）两车所行的总路程占全程的比率是：甲、乙两城之间相距为：综合算式：答略。2）求各行多少例1两地相距37.5千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行，甲每小时走3.5千米，乙每小时走4千米。相遇时甲、乙二人各走了多少千米？（适于五年级程度）解：到甲、乙二人相遇时所用的时间是：37.5 -（ 3.5+4 ） =5 （小时）甲行的路程是：3.5