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1、2023-2024学年甘肃省兰州市第五十八中高一数学第二学期期末统考模拟试题注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，则直线与平面所成角的大小为( )ABCD2圆与圆的位置关系是（ ）A相离B相交C相切D内含3如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那
2、么这个正方体的前面是（ ）A定B有C收D获4如图，矩形ABCD中，AB2，AD1，P是对角线AC上一点，过点P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于点M，E，N.若 (m0，n0)，则2m3n的最小值是()ABCD5设，是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则6已知4，3，则与的夹角为（ ）ABCD7已知与之间的几组数据如下表 则与的线性回归方程必过( )A点B点C点D点8如图，正四面体，是棱上的动点，设（），分别记与，所成角为，则（ ）ABC当时，D当时，9等比数列的前n项和为，若，则等于()A3B5C33D3110直线l：3x+4y+5=0被圆M：（x
3、2）2+（y1）2=16截得的弦长为（ ）AB5CD10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升；12若直线l1：ykx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点_，l1与l2的距离的最大值是_.13某幼儿园对儿童记忆能力的量化评价值和识图能力的量化评价值进行统计分析，得到如下数据：468103568由表中数据，求得回归直线方程中的，则 14在平面直角坐标系中，从五个点：中任取三个，这三点能构成三角形的概率是_15若，则的值为_16
4、设函数，则_.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17请解决下列问题：（1）已知，求的值；（2）计算.18已知三棱锥中， .若平面分别与棱相交于点且平面.求证:（1）；（2）.19设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值20已知函数.（1）求函数的值域和单调减区间；（2）已知为的三个内角，且，求的值.21某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，第二年是万元，第三年是万元，以后逐年递增万元汽车的购车费用
5、、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用年的维修费用的和为，年平均费用为.(1）求出函数，的解析式；(2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】取中点，中点，连接，先证明为所求角，再计算其大小.【详解】取中点，中点，连接.设易知：平面 平面易知：四边形为平行四边形平面，即为直线与平面所成角 故答案选A【点睛】本题考查了线面夹角，先找出线面夹角是解题的关键.2、B【解析】计算圆心距，判断与半径和差
6、的关系得到位置关系.【详解】圆心距 相交故答案选B【点睛】本题考查了两圆的位置关系，判断圆心距与半径和差的关系是解题的关键.3、B【解析】利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题，把“努”在正方体的后面，然后把平面展开图折成正方体，然后看“努”相对面【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”故选：【点睛】本题考查了正方形相对两个面上的文字问题，同时考查空间想象能力注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，属于基础题4、C【解析】设，则又当且仅当时取等号，故选点睛：在利用基本不等式求最值的时
7、候，要特别注意“拆，拼，凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数），“定”（不等式的另一边必须为定值），“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误5、A【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，可得考点：空间线面平行垂直的判定与性质6、C【解析】由已知中，我们可以求出的值，进而根据数量积的夹角公式，求出，进而得到向量与的夹角；【详解】，所以向量与的夹角为.故选C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7、C【解析】根据线性回归方程必过样本中
8、心点，即可得到结论【详解】，8根据线性回归方程必过样本中心点，可得与的线性回归方程必过故选：C【点睛】本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点，属于基础题8、D【解析】作交于时，为正三角形，是与成的角，根据等腰三角形的性质，作交于，同理可得，当时，故选D9、C【解析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出.【详解】设等比数列的公比为（公比显然不为1），则，得，因此，故选C.【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两
9、个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用10、C【解析】求出圆心到直线l的距离，再利用弦长公式进行求解即可【详解】圆（x2）2+（y1）2=16，圆心（2，1），半径r=4，圆心到直线l：3x+4y+5=0的距离d=3，直线3x+4y+5=0被圆（x2）2+（y1）2=16截得的弦长l=2=2故选C【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式，主要用到了点到直线的距离公式二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】试题分析：由题意可知，解得，所以.考点：等差数列通项公式12、（4，5） 4.
10、 【解析】根据所过定点与所过定点关于对称可得，与的距离的最大值就是两定点之间的距离.【详解】直线：经过定点，又两直线关于点对称，则两直线经过的定点也关于点对称直线恒过定点，与的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为.故答案为：，.【点睛】本题考查了过两条直线交点的直线系方程，属于基础题.13、-0.1【解析】分别求出和的均值，代入线性回归方程即可【详解】由表中数据易得，由在直线方程上，可得【点睛】此题考查线性回归方程形式，表示在回归直线上代入即可，属于简单题目14、【解析】分别算出两点间的距离，共有种，构成三角形的条件为任意两边之和大于第三边，所以在这10种中找出满足条件的即可【详解】由两点之
11、间的距离公式，得：，任取三点有：，共10种，能构成三角形的有：，共6种，所求概率为：.【点睛】构成三角形必须满足任意两边之和大于第三边，则n个点共有个线段，找出满足条件的即可，属于中等难度题目15、【解析】求出，将展开即可得解【详解】因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查了三角恒等式及两角和的正弦公式，考查计算能力，属于基础题16、【解析】利用反三角函数的定义，解方程即可【详解】因为函数，由反三角函数的定义，解方程，得，所以.故答案为：【点睛】本题考查了反三角函数的定义，属于基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）3【解析】（1）
12、分子分母同时除以即可得解； （2）由对数的运算求解即可.【详解】解：（1）由，分子分母同时除以可得，原式.（2）原式.【点睛】本题考查了三角求值中的齐次式求值问题，重点考查了对数的运算，属基础题.18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用线面平行的性质定理可得线线平行，最后利用平行公理可以证明出；（2）利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直，利用线面垂直的性质可以证明线线垂直，利用平行线的性质，最后证明出.【详解】证明（1）因为平面，平面平面,平面，所以有,同理可证出,根据平行公理，可得；（2）因为，,平面，所以平面,而平面,所以,由（1）可知,所以.【点睛】本题考查了线面平
13、行的性质定理，线面垂直的判定定理、以及平行公理的应用.19、（）；（）.【解析】()由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；()首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.【详解】（）设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，解得，所以.（）由（）知,所以；当或者时，取到最小值.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.20、（1），；（2）.【解析】（1）将函数化简，利用三角函数的取值范围的单调性得到答案.（2）通过函数计算，再计算代入数据得到答案.【详解】（1）且故所求值域为由得：所求减区间：；（2）是的三个内角，又，即又，,故,故.【点睛】本题考查了三角函数的最值，单调性，角度的大小，意在考查学生对于三角函数公式性质的灵活运用.21、（1），；（2）时，年平均费用最小，最小值为3万元【解析】试题分析：根据题意可知，汽车使用年的维修费用的和为，而第一年的维修费用是万元，以后逐年递增万元，每一年的维修费用形成以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的前项和即可求出的解析式；将购车费、每年使用的保险费、养路费、汽油费以及维修费用之和除以
