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1、云南省文山马关实验高级中学2023-2024学年高一下数学期末统考模拟试题注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1已知直线过点且与直线垂直,则该直线方程为()ABCD2已知某数列的前项和
2、(为非零实数),则此数列为( )A等比数列B从第二项起成等比数列C当时为等比数列D从第二项起的等比数列或等差数列3在中,已知角的对边分别为,若,且,则的最小角的余弦值为( )ABCD4已知正方体的个顶点中,有个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点,则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 ( )ABCD5直线关于直线对称的直线方程是()ABCD6若非零实数满足,则下列不等式成立的是( )ABCD7已知某7个数据的平均数为5,方差为4,现又加入一个新数据5,此时这8个数的方差为( )AB3CD48已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,则球的表面积为( )ABCD9已知两个单位向量的夹角为,则下列结论不
3、正确的是( )A方向上的投影为BCD10若为圆的弦的中点,则直线的方程是( )ABCD二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11已知四面体的四个顶点均在球 的表面上,为球的直径,四面体的体积最大值为_12函数的定义域是_.13已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为_.14直线与间的距离为_ 15设数列()是等差数列,若和是方程的两根,则数列的前2019项的和_16已知,若,则_.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知函数.(1
4、)求函数在上的单调递增区间;(2)将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象.求证:存在无穷多个互不相同的整数,使得.18已知对任意,恒成立(其中),求的最大值.19如图,直三棱柱中,为垂足. (1)求证: (2)求三棱锥的体积.20在中,的对边分别为,已知(1)判断的形状;(2)若,求21设,若存在,使得,且对任意,均有(即是一个公差为的等差数列),则称数列是一个长度为的“弱等差数列”.(1)判断下列数列是否为“弱等差数列”,并说明理由.1,3,5,7,9,11;2,.(2)证明:若,则数列为“弱等差数列”.(3)对任意给定的正整数,
5、若,是否总存在正整数,使得等比数列:是一个长度为的“弱等差数列”?若存在,给出证明;若不存在,请说明理由参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】根据垂直关系求出直线斜率为 ,再由点斜式写出直线。【详解】由直线与直线垂直,可知直线斜率为,再由点斜式可知直线为: 即.故选A.【点睛】本题考查两直线垂直,属于基础题。2、D【解析】设数列的前项和为,运用数列的递推式:当时,当时,结合等差数列和等比数列的定义和通项公式,即可得到所求结论【详解】设数列的前项和为,对任意的,(为非零实数).当时,;当时,.若,则,此时,该
6、数列是从第二项起的等差数列;若且,不满足,当时,此时,该数列是从第二项起的等比数列.综上所述,此数列为从第二项起的等比数列或等差数列.故选:D.【点睛】本题考查数列的递推式的运用,等差数列和等比数列的定义和通项公式,考查分类讨论思想和运算能力,属于中档题3、D【解析】利用余弦定理求出和的表达式,由,结合正弦定理得出的表达式,利用余弦定理得出的表达式,可解出的值,于此确定三边长,再利用大边对大角定理得出为最小角,从而求出【详解】,由正弦定理,即,解得,由大边对大角定理可知角是最小角,所以,故选D【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,考查大边对大角定理,在解题时,要充分结合题中的已知条件选择正
7、弦定理和余弦定理进行求解,考查计算能力,属于中等题4、A【解析】所求的全面积之比为: ,故选A.5、A【解析】所求直线的斜率与直线的斜率互为相反数,且在处有公共点,求解即可。【详解】直线与直线的交点为,则所求直线过点,因为直线的斜率为,所以所求直线的斜率为,故所求直线方程为,即.故答案为A.【点睛】本题考查了直线的斜率,直线的方程,直线关于直线的对称问题,属于基础题。6、C【解析】对每一个不等式逐一分析判断得解.【详解】A, 不一定小于0,所以该选项不一定成立;B,如果a0,b0时, 不成立,所以该选项不一定成立;C, ,所以,所以该不等式成立;D, 不一定小于0,所以该选项不一定成立.故选:
8、C【点睛】本题主要考查不等式性质和比较法比较实数的大小,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解析】由平均数公式求得原有7个数的和,可得新的8个数的平均数,由于新均值和原均值相等,因此由方差公式可得新方差【详解】因为7个数据的平均数为5,方差为4,现又加入一个新数据5,此时这8个数的平均数为,方差为,由平均数和方差的计算公式可得,.故选:C.【点睛】本题考查均值与方差的概念,掌握均值与方差的计算公式是解题关键8、A【解析】设外接圆半径为,三棱锥外接球半径为,由题意知,平面,则将三棱锥补成三棱柱可得,故选A点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接
9、、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直,且,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用求解9、B【解析】试题分析:A方向上的投影为,即,所以A正确; B,所以B错误;C,所以,所以C正确;D,所以D正确考点:向量的数量积;向量的投影;向量的夹角点评:熟练掌握数量积的有关性质是解决此题的关键,尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”这条性质10、D【解析】圆的圆心为O,求出圆心坐标,利用垂径定理,可以得到,求出直线的斜率,利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜
10、率,利用点斜式写出直线方程,最后化为一般式方程.【详解】设圆的圆心为O,坐标为(1,0),根据圆的垂径定理可知:,因为,所以,因此直线的方程为,故本题选D.【点睛】本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系,考查了斜率公式.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、2【解析】为球的直径,可知与均为直角三角形,求出点到直线的距离为,可知点在球上的运动轨迹为小圆.【详解】如图所示,四面体内接于球,为球的直径,过作于,点在以为圆心,为半径的小圆上运动,当面面时,四面体的体积达到最大,.【点睛】立体几何中求最值问题,核心通过直观想象,找到几何体是如何变化的?本题求解的突破口在于找到点的
11、运动轨迹,考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.12、.【解析】由题意得到关于x的不等式,解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得,即解得,故函数的定义域为.【点睛】求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可13、.【解析】根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径【详解】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为,借助勾股定理,可知四棱锥的高为,.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,圆柱的底面半径为,一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,故圆柱的高为,故圆柱的体积为【点睛】本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合,考查了空间想
12、象力,属于基础题.14、【解析】根据两平行线间的距离,代入相应的数据,整理计算得到答案.【详解】因为直线与互相平行,所以根据平行线间的距离公式,可以得到它们之间的距离,.【点睛】本题考查两平行线间的距离公式,属于简单题.15、2019【解析】根据二次方程根与系数的关系得出,再利用等差数列下标和的性质得到,然后利用等差数列求和公式可得出答案.【详解】由二次方程根与系数的关系可得,由等差数列的性质得出,因此,等差数列的前项的和为,故答案为.【点睛】本题考查等差数列的性质与等差数列求和公式的应用,涉及二次方程根与系数的关系,解题的关键在于等差数列性质的应用,属于中等题.16、【解析】先算出的坐标,然
13、后利用即可求出【详解】因为,所以因为,所以即,解得故答案为:【点睛】本题考查的是向量在坐标形式下的相关计算,较简单.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)单调递增区间为;(2)见解析.【解析】(1)利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式可将函数的解析式化简为,然后求出函数在上的单调递增区间,与定义域取交集可得出答案;(2)利用三角函数图象变换得出,解出不等式的解集,可得知对中的任意一个,每个区间内至少有一个整数使得,从而得出结论.【详解】(1).令,解得,所以,函数在上的单调递增区间为,因此,函数在上的单调递增区间为;(2)将函数的图象向左平移
14、个单位长度,得到函数的图象,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象,由,对于中的任意一个,区间长度始终为,大于,每个区间至少含有一个整数,因此,存在无穷多个互不相同的整数,使得.【点睛】本题考查正弦型三角函数单调区间的求解,同时也考查了利用三角函数图象变换求函数解析式,以及三角不等式整数解的个数问题,考查运算求解能力,属于中等题.18、的最大值为.【解析】试题分析:利用二倍角公式,利用换元法,将原不等式转化为二次不等式在区间上恒成立,利用二次函数的零点分布进行讨论,从而得出的最大值,但是在对时的情况下,主要对二次函数的对称轴是否在区间进行分类讨论,再将问题转化为的条件下,求的最大值,试题解析:由题意知,令,则当,恒成立,开口向上,当时,不满足,恒成立,当时,则必有(1)