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1、云南省文山马关实验高级中学2023-2024学年高一下数学期末统考模拟试题注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为（）ABCD2已知某数列的前项和
2、（为非零实数），则此数列为（ ）A等比数列B从第二项起成等比数列C当时为等比数列D从第二项起的等比数列或等差数列3在中，已知角的对边分别为，若，且，则的最小角的余弦值为（ ）ABCD4已知正方体的个顶点中，有个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 （ ）ABCD5直线关于直线对称的直线方程是（）ABCD6若非零实数满足，则下列不等式成立的是（ ）ABCD7已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（ ）AB3CD48已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）ABCD9已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不
3、正确的是（ ）A方向上的投影为BCD10若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11已知四面体的四个顶点均在球 的表面上，为球的直径，四面体的体积最大值为_12函数的定义域是_.13已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_.14直线与间的距离为_ 15设数列（）是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2019项的和_16已知，若，则_.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知函数.（1
4、）求函数在上的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.求证：存在无穷多个互不相同的整数，使得.18已知对任意，恒成立（其中），求的最大值.19如图，直三棱柱中，为垂足. （1）求证： （2）求三棱锥的体积.20在中，的对边分别为，已知（1）判断的形状；（2）若，求21设，若存在，使得，且对任意，均有（即是一个公差为的等差数列），则称数列是一个长度为的“弱等差数列”.（1）判断下列数列是否为“弱等差数列”，并说明理由.1，3，5，7，9，11；2，.（2）证明：若，则数列为“弱等差数列”.（3）对任意给定的正整数，
5、若，是否总存在正整数，使得等比数列：是一个长度为的“弱等差数列”？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】根据垂直关系求出直线斜率为 ，再由点斜式写出直线。【详解】由直线与直线垂直，可知直线斜率为，再由点斜式可知直线为： 即.故选A.【点睛】本题考查两直线垂直，属于基础题。2、D【解析】设数列的前项和为，运用数列的递推式：当时，当时，结合等差数列和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求结论【详解】设数列的前项和为，对任意的，（为非零实数）.当时，；当时，.若，则，此时，该
6、数列是从第二项起的等差数列；若且，不满足，当时，此时，该数列是从第二项起的等比数列.综上所述，此数列为从第二项起的等比数列或等差数列.故选：D.【点睛】本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的定义和通项公式，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题3、D【解析】利用余弦定理求出和的表达式，由，结合正弦定理得出的表达式，利用余弦定理得出的表达式，可解出的值，于此确定三边长，再利用大边对大角定理得出为最小角，从而求出【详解】，由正弦定理，即，解得，由大边对大角定理可知角是最小角，所以，故选D【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查大边对大角定理，在解题时，要充分结合题中的已知条件选择正
7、弦定理和余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题4、A【解析】所求的全面积之比为： ，故选A.5、A【解析】所求直线的斜率与直线的斜率互为相反数，且在处有公共点，求解即可。【详解】直线与直线的交点为，则所求直线过点,因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.故答案为A.【点睛】本题考查了直线的斜率，直线的方程，直线关于直线的对称问题，属于基础题。6、C【解析】对每一个不等式逐一分析判断得解.【详解】A, 不一定小于0，所以该选项不一定成立；B,如果a0，b0时， 不成立，所以该选项不一定成立；C, ，所以，所以该不等式成立；D, 不一定小于0，所以该选项不一定成立.故选：
8、C【点睛】本题主要考查不等式性质和比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解析】由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差【详解】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为，方差为，由平均数和方差的计算公式可得，.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键8、A【解析】设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，故选A点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接
9、、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解9、B【解析】试题分析：A方向上的投影为，即，所以A正确； B，所以B错误；C，所以，所以C正确；D，所以D正确考点：向量的数量积；向量的投影；向量的夹角点评：熟练掌握数量积的有关性质是解决此题的关键，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”这条性质10、D【解析】圆的圆心为O，求出圆心坐标，利用垂径定理，可以得到，求出直线的斜率，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜
10、率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.【详解】设圆的圆心为O，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：，因为，所以，因此直线的方程为，故本题选D.【点睛】本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系，考查了斜率公式.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解析】为球的直径，可知与均为直角三角形，求出点到直线的距离为，可知点在球上的运动轨迹为小圆.【详解】如图所示，四面体内接于球，为球的直径，过作于，点在以为圆心，为半径的小圆上运动，当面面时，四面体的体积达到最大，.【点睛】立体几何中求最值问题，核心通过直观想象，找到几何体是如何变化的？本题求解的突破口在于找到点的
11、运动轨迹，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.12、.【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得,即解得，故函数的定义域为.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可13、.【解析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径【详解】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为【点睛】本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想
12、象力，属于基础题.14、【解析】根据两平行线间的距离，代入相应的数据，整理计算得到答案.【详解】因为直线与互相平行，所以根据平行线间的距离公式，可以得到它们之间的距离，.【点睛】本题考查两平行线间的距离公式，属于简单题.15、2019【解析】根据二次方程根与系数的关系得出，再利用等差数列下标和的性质得到，然后利用等差数列求和公式可得出答案.【详解】由二次方程根与系数的关系可得，由等差数列的性质得出，因此，等差数列的前项的和为，故答案为.【点睛】本题考查等差数列的性质与等差数列求和公式的应用，涉及二次方程根与系数的关系，解题的关键在于等差数列性质的应用，属于中等题.16、【解析】先算出的坐标，然
13、后利用即可求出【详解】因为，所以因为，所以即，解得故答案为：【点睛】本题考查的是向量在坐标形式下的相关计算，较简单.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递增区间为；（2）见解析.【解析】（1）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式可将函数的解析式化简为，然后求出函数在上的单调递增区间，与定义域取交集可得出答案；（2）利用三角函数图象变换得出，解出不等式的解集，可得知对中的任意一个，每个区间内至少有一个整数使得，从而得出结论.【详解】（1）.令，解得，所以，函数在上的单调递增区间为，因此，函数在上的单调递增区间为；（2）将函数的图象向左平移
14、个单位长度，得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，由，对于中的任意一个，区间长度始终为，大于，每个区间至少含有一个整数，因此，存在无穷多个互不相同的整数，使得.【点睛】本题考查正弦型三角函数单调区间的求解，同时也考查了利用三角函数图象变换求函数解析式，以及三角不等式整数解的个数问题，考查运算求解能力，属于中等题.18、的最大值为.【解析】试题分析：利用二倍角公式，利用换元法，将原不等式转化为二次不等式在区间上恒成立，利用二次函数的零点分布进行讨论，从而得出的最大值，但是在对时的情况下，主要对二次函数的对称轴是否在区间进行分类讨论，再将问题转化为的条件下，求的最大值，试题解析：由题意知，令，则当，恒成立，开口向上，当时，不满足，恒成立，当时，则必有（1）
