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1、北京市西城区2024年高一下数学期末监测试题考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )A3B4C18D402在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）到直线l：4x3y+4=0的距离为（ ）A3BC
2、1D33平面与平面平行的充分条件可以是（ ）A内有无穷多条直线都与平行B直线，且直线a不在内，也不在内C直线，直线，且，D内的任何一条直线都与平行4若向量，|2，若()2，则向量与的夹角( )ABCD5在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）A30B45C60D906已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）ABCD7若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过 的直线 与双曲线相交于 ， 两点，且 的中点为 ，则双曲线的方程为（ ）ABCD8在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，bc，且满足，若点O是ABC外一点，AOB(0)，OA2OB2，则平面四边形OACB面积的最大值是()AB
3、C3D9在中，角、所对的边分别为、，且，则的面积为（ ）ABCD10如果，且，那么下列不等式成立的是（ ）ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11函数，的值域为_12设，则_13函数的定义域为_14方程的解集是_.15已知数列满足，记数列的前项和为，则_.16已知三棱锥PABC，PA平面ABC，ACBC，PA2，ACBC1，则三棱锥PABC外接球的体积为_ .三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示（）证明：平面平面；（）求三棱锥的体积18在A
4、BC中，a=7，b=8，cosB= （）求A；（）求AC边上的高19为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况，某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，计算得：，.（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；（2）指出（1）中所求出方程的系数，并判断变量与之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.20已知：，求的值.21已知函数.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.求证：存在无穷多个互
5、不相同的整数，使得.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时，有最大值考点：线性规划.2、A【解析】由点到直线距离公式计算【详解】故选：A【点睛】本题考查点到直线的距离公式，掌握距离公式是解题基础点到直线的距离为3、D【解析】利用平面与平面平行的判定定理一一进行判断，可得正确答案.【详解】解：A选项，内有无穷多条直线都与平行，并不能保证平面内有两条相交直线与平面平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；B选项,直线，且直线a不在内，也不在内,直线a可
6、以是平行平面与平面的相交直线，故不能保证平面与平面平行，故B错误；C选项, 直线，直线，且，,当直线，同样不能保证平面与平面平行，故C错误；D选项, 内的任何一条直线都与平行,则内至少有两条相交直线与平面平行，故平面与平面平行;故选:D.【点睛】本题主要考查平面与平面平行的判断，解题时要认真审题，熟练掌握面与平面平行的判定定理，注意空间思维能力的培养.4、A【解析】根据向量的数量积运算，向量的夹角公式可以求得.【详解】由已知可得： ，得 ，设向量与的夹角为 ，则 所以向量与的夹角为故选A.【点睛】本题考查向量的数量积运算和夹角公式，属于基础题.5、C【解析】首先由可得是异面直线和所成角，再由为
7、正三角形即可求解.【详解】连接因为为正方体，所以，则是异面直线和所成角又,可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，故选：C【点睛】本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.6、B【解析】先计算向量夹角，再利用投影定义计算即可.【详解】由向量，则，向量在向量方向上的投影为.故选：B【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示以及向量数量积的几何意义，属于基础题.7、B【解析】由题可知，直线：，设，得，又，解得，所以双曲线方程为，故选B。8、A【解析】根据正弦和角公式化简得 是正三角形，再将平面四边形OACB面积表示成 的三角函数，利
8、用三角函数求得最值.【详解】由已知得： 即所以 即 又因为 所以 所以 又因为 所以 是等边三角形.所以 在中，由余弦定理得 且因为平面四边形OACB面积为 当 时，有最大值 ，此时平面四边形OACB面积有最大值 ，故选A.【点睛】本题关键在于把所求面积表示成角的三角函数，属于难度题.9、B【解析】由正弦定理得，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】，又，由余弦定理可得，可得，所以，的面积为.故选：B.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.10、D【解析】由，且，可得再利用不等式的基本性质即可得出，【详解】，且
9、，因此故选：【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】先求的值域,再求的值域即可.【详解】因为,故,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦函数的值域与反三角函数的值域等,属于基础题型.12、【解析】由，根据两角差的正切公式可解得【详解】，故答案为【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础知识的考查13、【解析】由二次根式有意义，得：,然后利用指数函数的单调性即可得到结果.【详解】由二次根式有意义，得：，即，因为在R上是增函数，所以，x2，即定义域为：【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数不等式的解法，要求熟
10、练掌握常见函数成立的条件，比较基础14、【解析】令，将原方程化为关于的一元二次方程，解出得到，进而得出方程的解集.【详解】令，故原方程可化为，解得或，故而或，即方程的解集是，故答案为.【点睛】本题主要考查了指数方程的解法，转化为一元二次方程是解题的关键，属于基础题.15、7500【解析】讨论的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得的通项公式，进而可求.【详解】当是奇数时，1，由，得，所以，是以为首项，以2为公差的等差数列，当为偶数时，1，由，得，所以，是首项为，以4为公差的等差数列，则 ，所以.故答案为：7500【点睛】本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n项
11、和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题16、【解析】如图所示,取PB的中点O，PA平面ABC，PAAB，PABC，又BCAC，PAACA，BC平面PAC，BCPC.OAPB，OCPB，OAOBOCOP，故O为外接球的球心又PA2，ACBC1，AB，PB，外接球的半径R.V球R3()3,故填.点睛: 空间几何体与球接、切问题的求解方法:(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，
12、一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）见证明；（）【解析】（）折叠前，ACDE；，从而折叠后，DEPF，DECF，由此能证明DE平面PCF再由DCAE，DCAE能得到DCEB，DCEB说明四边形DEBC为平行四边形可得CBDE由此能证明平面PBC平面PCF（）由题意根据勾股定理运算得到，又由（）的结论得到 ，可得平面，再利用等体积转化有，计算结果.【详解】（）折叠前，因为四边形为菱形，所以；所以折叠后，, 又，平面，所以平面 因为四边形为菱形，所以又点为线段的中点，所以所以
13、四边形为平行四边形所以 又平面，所以平面 因为平面，所以平面平面 （）图1中，由已知得，所以图2中，又所以，所以又平面，所以 又，平面，所以平面， 所以所以三棱锥的体积为【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了三棱锥体积的求法，运用了转化思想，是中档题18、 (1) A= (2) AC边上的高为【解析】分析：（1）先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得边上的高详解：解：（1）在ABC中，cosB=，B（，），sinB=由正弦定理得 =，sinA=B（，），A（0，），A=（2）在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如图所示，在ABC中，sinC=，h=，AC边上的高为点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19、（1）；（2）正相关；（3）2.2千元.【解析】（1）直接利用公式计算回归方程为：.（2）由（1），故正相关.（3）把代入得：.【详解】（1），样本中心点为：
