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1、北京市西城区2024年高一下数学期末监测试题考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1设变量 满足约束条件 ,则目标函数的最大值为( )A3B4C18D402在平面直角坐标系xOy中,点P(2,1)到直线l:4x3y+4=0的距离为( )A3BC
2、1D33平面与平面平行的充分条件可以是( )A内有无穷多条直线都与平行B直线,且直线a不在内,也不在内C直线,直线,且,D内的任何一条直线都与平行4若向量,|2,若()2,则向量与的夹角( )ABCD5在正方体中,异面直线与所成的角为( )A30B45C60D906已知向量,则向量在向量方向上的投影为( )ABCD7若双曲线的中心为原点,是双曲线的焦点,过 的直线 与双曲线相交于 , 两点,且 的中点为 ,则双曲线的方程为( )ABCD8在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,bc,且满足,若点O是ABC外一点,AOB(0),OA2OB2,则平面四边形OACB面积的最大值是()AB
3、C3D9在中,角、所对的边分别为、,且,则的面积为( )ABCD10如果,且,那么下列不等式成立的是( )ABCD二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11函数,的值域为_12设,则_13函数的定义域为_14方程的解集是_.15已知数列满足,记数列的前项和为,则_.16已知三棱锥PABC,PA平面ABC,ACBC,PA2,ACBC1,则三棱锥PABC外接球的体积为_ .三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17如图1,已知菱形的对角线交于点,点为线段的中点,将三角形沿线段折起到的位置,如图2所示()证明:平面平面;()求三棱锥的体积18在A
4、BC中,a=7,b=8,cosB= ()求A;()求AC边上的高19为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况,某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭,获得第个家庭的月收入(单位:千元)与月储蓄(单位:千元)的数据资料,计算得:,.(1)求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程;(2)指出(1)中所求出方程的系数,并判断变量与之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为9千元,预测该家庭的月储蓄.20已知:,求的值.21已知函数.(1)求函数在上的单调递增区间;(2)将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象.求证:存在无穷多个互
5、不相同的整数,使得.参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】不等式所表示的平面区域如下图所示,当所表示直线经过点时,有最大值考点:线性规划.2、A【解析】由点到直线距离公式计算【详解】故选:A【点睛】本题考查点到直线的距离公式,掌握距离公式是解题基础点到直线的距离为3、D【解析】利用平面与平面平行的判定定理一一进行判断,可得正确答案.【详解】解:A选项,内有无穷多条直线都与平行,并不能保证平面内有两条相交直线与平面平行,这无穷多条直线可以是一组平行线,故A错误;B选项,直线,且直线a不在内,也不在内,直线a可
6、以是平行平面与平面的相交直线,故不能保证平面与平面平行,故B错误;C选项, 直线,直线,且,,当直线,同样不能保证平面与平面平行,故C错误;D选项, 内的任何一条直线都与平行,则内至少有两条相交直线与平面平行,故平面与平面平行;故选:D.【点睛】本题主要考查平面与平面平行的判断,解题时要认真审题,熟练掌握面与平面平行的判定定理,注意空间思维能力的培养.4、A【解析】根据向量的数量积运算,向量的夹角公式可以求得.【详解】由已知可得: ,得 ,设向量与的夹角为 ,则 所以向量与的夹角为故选A.【点睛】本题考查向量的数量积运算和夹角公式,属于基础题.5、C【解析】首先由可得是异面直线和所成角,再由为
7、正三角形即可求解.【详解】连接因为为正方体,所以,则是异面直线和所成角又,可得为等边三角形,则,所以异面直线与所成角为,故选:C【点睛】本题考查异面直线所成的角,利用平行构造三角形或平行四边形是关键,考查了空间想象能力和推理能力,属于中档题.6、B【解析】先计算向量夹角,再利用投影定义计算即可.【详解】由向量,则,向量在向量方向上的投影为.故选:B【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示以及向量数量积的几何意义,属于基础题.7、B【解析】由题可知,直线:,设,得,又,解得,所以双曲线方程为,故选B。8、A【解析】根据正弦和角公式化简得 是正三角形,再将平面四边形OACB面积表示成 的三角函数,利
8、用三角函数求得最值.【详解】由已知得: 即所以 即 又因为 所以 所以 又因为 所以 是等边三角形.所以 在中,由余弦定理得 且因为平面四边形OACB面积为 当 时,有最大值 ,此时平面四边形OACB面积有最大值 ,故选A.【点睛】本题关键在于把所求面积表示成角的三角函数,属于难度题.9、B【解析】由正弦定理得,利用余弦定理可求出的值,然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】,又,由余弦定理可得,可得,所以,的面积为.故选:B.【点睛】本题考查三角形面积的计算,同时也考查了余弦定理解三角形,考查计算能力,属于中等题.10、D【解析】由,且,可得再利用不等式的基本性质即可得出,【详解】,且
9、,因此故选:【点睛】本题考查了不等式的基本性质,属于基础题二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】先求的值域,再求的值域即可.【详解】因为,故,故.故答案为:【点睛】本题主要考查了余弦函数的值域与反三角函数的值域等,属于基础题型.12、【解析】由,根据两角差的正切公式可解得【详解】,故答案为【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的应用,属于基础知识的考查13、【解析】由二次根式有意义,得:,然后利用指数函数的单调性即可得到结果.【详解】由二次根式有意义,得:,即,因为在R上是增函数,所以,x2,即定义域为:【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数不等式的解法,要求熟
10、练掌握常见函数成立的条件,比较基础14、【解析】令,将原方程化为关于的一元二次方程,解出得到,进而得出方程的解集.【详解】令,故原方程可化为,解得或,故而或,即方程的解集是,故答案为.【点睛】本题主要考查了指数方程的解法,转化为一元二次方程是解题的关键,属于基础题.15、7500【解析】讨论的奇偶性,分别化简递推公式,根据等差数列的定义得的通项公式,进而可求.【详解】当是奇数时,1,由,得,所以,是以为首项,以2为公差的等差数列,当为偶数时,1,由,得,所以,是首项为,以4为公差的等差数列,则 ,所以.故答案为:7500【点睛】本题考查数列递推公式的化简,等差数列的通项公式,以及等差数列前n项
11、和公式的应用,也考查了分类讨论思想,属于中档题16、【解析】如图所示,取PB的中点O,PA平面ABC,PAAB,PABC,又BCAC,PAACA,BC平面PAC,BCPC.OAPB,OCPB,OAOBOCOP,故O为外接球的球心又PA2,ACBC1,AB,PB,外接球的半径R.V球R3()3,故填.点睛: 空间几何体与球接、切问题的求解方法:(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PAa,PBb,PCc,
12、一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R2a2b2c2求解三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、()见证明;()【解析】()折叠前,ACDE;,从而折叠后,DEPF,DECF,由此能证明DE平面PCF再由DCAE,DCAE能得到DCEB,DCEB说明四边形DEBC为平行四边形可得CBDE由此能证明平面PBC平面PCF()由题意根据勾股定理运算得到,又由()的结论得到 ,可得平面,再利用等体积转化有,计算结果.【详解】()折叠前,因为四边形为菱形,所以;所以折叠后,, 又,平面,所以平面 因为四边形为菱形,所以又点为线段的中点,所以所以
13、四边形为平行四边形所以 又平面,所以平面 因为平面,所以平面平面 ()图1中,由已知得,所以图2中,又所以,所以又平面,所以 又,平面,所以平面, 所以所以三棱锥的体积为【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查了三棱锥体积的求法,运用了转化思想,是中档题18、 (1) A= (2) AC边上的高为【解析】分析:(1)先根据平方关系求,再根据正弦定理求,即得;(2)根据三角形面积公式两种表示形式列方程,再利用诱导公式以及两角和正弦公式求,解得边上的高详解:解:(1)在ABC中,cosB=,B(,),sinB=由正弦定理得 =,sinA=B(,),A(0,),A=(2)在ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=如图所示,在ABC中,sinC=,h=,AC边上的高为点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.19、(1);(2)正相关;(3)2.2千元.【解析】(1)直接利用公式计算回归方程为:.(2)由(1),故正相关.(3)把代入得:.【详解】(1),样本中心点为: