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1、北京市西城区第十四中2024年高一数学第二学期期末调研模拟试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1对一切实数，不等式恒成立.则的取值范围是（ ）ABCD2如图，为正方体，下面结论错误的是（）A平面BC平面D异面直线与所成的角为3已知向量，则向量的夹角
2、的余弦值为（ ）ABCD4已知角的终边经过点，则（ ）ABCD5在ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为（ ）A3 B4 C5 D66将函数（其中）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则不可能等于（ ）A0BCD7若数列，若，则在下列数列中，可取遍数列前项值的数列为（ ）ABCD8下列命题中错误的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若， 则9三边，满足，则三角形是（ ）A锐角三角形B钝角三角形C等边三角形D直角三角形10若、为实数，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11当实数a变化时，点到直线的距离的最大
3、值为_.12如果，则的值为_（用分数形式表示）13在明朝程大位算术统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从上往下数第二层有_盏灯14在平面直角坐标系中，圆的方程为若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是_15方程的解为_16如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，且，则的长等于_三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在等差
4、数列an中，2a9a12+13，a37，其前n项和为Sn（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn，并证明Tn18已知角的顶点与原点重合，其始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，若，且.（1）求的值；（2）求的值.19如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=1E为PD的中点，点F在PC上，且（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由20设数列的前项和为，若且求若数列满足，求数列的前项和.21如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，
5、PB，AD的中点（1）证明：EF平面PAC；（2）证明：平面PCG平面AEF；（3）在线段BD上找一点H，使得FH平面PCG，并说明理由参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】时，恒成立.时，原不等式等价于.由的最小值是2，可得，即. 选A.2、D【解析】在正方体中与平行，因此有与平面平行，A正确；在平面内的射影垂直于，因此有，B正确；与B同理有与垂直，从而平面，C正确；由知与所成角为45，D错故选D3、C【解析】先求出向量，再根据向量的数量积求出夹角的余弦值【详解】，设向量的夹角为，则故选C【点睛】本题考查
6、向量的线性运算和向量夹角的求法，解题的关键是求出向量的坐标，然后根据数量积的定义求解，注意计算的准确性，属于基础题4、C【解析】首先根据题意求出，再根据正弦函数的定义即可求出的值.【详解】，.故选：C【点睛】本题主要考查正弦函数的定义，属于简单题.5、A【解析】试题分析：在中，设， ，即，即，根据直角三角形可得，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系可得，为线段上的一点，则存在实数使得设， ，则，且，可得则，即，解得，故所求的最大值为：，故选A考点：三角形的内角和定理，两角和的正弦公式，基本不等式求解最值6、D【解析】由题意，所以，因此，从而，可知不可能等于7、D【解析】推导出是以6
7、为周期的周期数列，从而是可取遍数列前6项值的数列【详解】数列，是以6为周期的周期数列，是可取遍数列前6项值的数列故选：D.【点睛】本题考查数列的周期性与三角函数知识的交会，考查基本运算求解能力，求解时注意函数与方程思想的应用8、D【解析】根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，根据不等式传递性可知，A选项命题正确.对于B选项，由于在定义域上为增函数，故B选项正确.对于C选项，由于在定义域上为增函数，故C选项正确.对于D选项，当时，命题错误.故选D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.9、C【
8、解析】由基本不等式得出，将三个不等式相加得出，由等号成立的条件可判断出的形状【详解】为三边，由基本不等式可得，将上述三个不等式相加得，当且仅当时取等号，所以，是等边三角形，故选C【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查基本不等式的应用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用，考查推理能力，属于中等题10、B【解析】利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.【详解】对于A选项，若，则，故A不成立；对于B选项，在不等式同时乘以，得，另一方面在不等式两边同时乘以，得，故B成立；对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；对于选项D，令，则有，所以D不成立.故选B.【点睛】本
9、题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由已知直线方程求得直线所过定点，再由两点间的距离公式求解【详解】由直线，得，联立，解得直线恒过定点，到直线的最大距离故答案为：【点睛】本题考查点到直线距离最值的求法，考查直线的定点问题，是基础题12、【解析】先求出，可得，再代值计算即可.【详解】 .故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式、累乘相消法，考查了学生的计算能力，属于基础题.13、6.【解析】根据题意
10、可将问题转化为等比数列中，已知和，求解的问题；利用等比数列前项和公式可求得，利用求得结果.【详解】由题意可知，每层悬挂的红灯数成等比数列，设为设第层悬挂红灯数为，向下依次为 且 即从上往下数第二层有盏灯本题正确结果；【点睛】本题考查利用等比数列前项和求解基本量的问题，属于基础题.14、【解析】试题分析：记两个切点为，则由于，因此四边形是正方形，圆标准方程为，于是圆心直线的距离不大于，解得.考点：直线和圆的位置关系.15、或【解析】由指数函数的性质得，由此能求出结果【详解】方程，或，解得或故答案为或【点睛】本题考查指数方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用16、
11、1【解析】由已知中二面角l等于110，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，由，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长【详解】A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，又二面角l的平面角等于110，且ABACBD1，60，故答案为1【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解析】（1）等差数列an的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到
12、所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，求得（），再由数列的裂项相消求和可得Tn，再由不等式的性质即可得证【详解】（1）等差数列an的公差设为d，2a9a12+13，a37，可得2（a1+8d）a1+11d+13，a1+2d7，解得a13，d2，则an3+2（n1）2n+1；（2）Snn（3+2n+1）n（n+2），（），前n项和Tn（1）（1）（）【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题18、（1）；（2）【解析】（1）平方处理求出，根据角的范围可得，即可得解；（2）变形处理，结合（1）已计算的结果即可求解.【详解】（
13、1）由题：角的顶点与原点重合，其始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，若，即，两边平方可得：，所以；（2）【点睛】此题考查同角三角函数的关系，根据平方关系处理同角正余弦的和差积三者关系，利用平方关系合理变形求值.19、 ()见解析；() ；()见解析.【解析】()由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；()建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；()首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.【详解】()由于PA平面ABCD，CD平面ABCD，则PACD，由题意可知ADCD，且PAAD=A，由线面垂直的判定定理可得CD平面PAD.()以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，由可得点F的坐标为，由可得，设平面AEF的法向量为：，则，据此可得平面AEF的一个法向量为：，很明显平面AEP的一个法向量为，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.()易知，由可得，则，注意到平面AEF的一个法向量为：，其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.20、（1）；
