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1、内蒙古自治区包头市第一机械制造有限公司第一中学2024届高一数学第二学期期末联考试题请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1棱长为2的正方体的内切球的体积为（ ）ABCD2若实数 满足，则的最小值为( )A4B8C16D323设为直线，是两个不同的平面，下列说法中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则4已
2、知A=第一象限角，B=锐角，C=小于90的角，那么A、B、C关系是( )AB=ACBBC=CCACDA=B=C5设，,则的值可表示为（ ）ABCD6以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）A2，5B5，5C5，8D8，87设l是直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则8=（ ）ABCD9在ABC中，角A、B、C所对的边分别为，己知A=60，则B=（ ）A45B135C45或135D以上都不对10已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A0.2B0
3、.3C0.7D0.8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11已知，则在方向上的投影为_12已知数列中，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_13把数列的各项排成如图所示三角形状，记表示第m行、第n个数的位置，则在图中的位置可记为_14用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共_项15已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是_(写出所有正确结论的编号)16已知向量，若向量与垂直，则等于_三、解答题：本大题共5
4、小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在平面立角坐标系中，过点的圆的圆心在轴上，且与过原点倾斜角为的直线相切.(1)求圆的标准方程；(2)点在直线上，过点作圆的切线、，切点分别为、，求经过、四点的圆所过的定点的坐标.18如图，求阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的表面积和体积19如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且垂直于轴，连结并延长交椭圆于另一点，设.（1）若点的坐标为，求椭圆的方程及的值；（2）若，求椭圆的离心率的取值范围.20已知点，曲线任意一点满足.(1)求曲线的方程；(2)设点，问是否存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，无论直线如
5、何运动，轴都平分，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.21已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、（）当切线PA的长度为时，求点的坐标；（）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（）求线段长度的最小值参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等可得结果.【详解】因为棱长为2的正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等，所以直径，内切球的体积为，故选：C.【点睛】本题主要考查正方体的内切球的体积
6、，利用正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等求出半径是解题的关键.2、B【解析】由可以得到，利用基本不等式可求最小值.【详解】因为，故，因为，故，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为8，故选B.【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.3、C【解析】画出长方体，按照选项的内容在长方体中找到相应的情况，即可得到答案【详解】对于选项A，在长方体中，任何一条棱都和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A不正确；对于选项B，若，分别是长方体的上、下底面，在
7、下底面所在平面中任选一条直线，都有，但，所以B不正确；对于选项D，在长方体中，令下底面为，左边侧面为，此时，在右边侧面中取一条对角线，则，但与不垂直，所以D不正确；对于选项C，设平面，且，因为，所以，又，所以，又，所以，所以C正确.【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，属于简单题4、B【解析】由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可【详解】由题BA，A第一象限角，B锐角，C小于90的角，BC小于90的角C，即BC，则B不一定等于AC，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故选：B【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，
8、以及小于90的角表示的意义是解本题的关键，是易错题5、A【解析】由，可得到，然后根据反余弦函数的图象与性质即可得到答案.【详解】因为，所以，则.故选：A【点睛】本题主要考查反余弦函数的运用，熟练掌握反余弦函数的概念及性质是解决本题的关键.6、C【解析】试题分析：由题意得，选C.考点：茎叶图7、D【解析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.【详解】A.若，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.B.若，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.C.若，则可能，所以不正确.D.若，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.所以，所以有，所以正确.故选：D【点睛】本
9、题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.8、A【解析】试题分析：由诱导公式，故选A考点：诱导公式9、A【解析】利用正弦定理求出的值，再结合，得出，从而可得出的值。【详解】由正弦定理得，则，所以，故选：A。【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，要注意正弦定理所适用的基本情形，同时在求得角时，利用大边对大角定理或两角之和不超过得出合适的答案，考查计算能力，属于中等题。10、B【解析】随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，且，由，可知，所以，故选B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据数量积的几何意义计算【详解】在方向上的投影为故答案为：1【点
10、睛】本题考查向量的投影，掌握投影的概念是解题基础12、【解析】，（，），当时，并项相加，得：，又当时，也满足上式，数列的通项公式为，令（），则，当时，恒成立，在上是增函数，故当时，即当时， ，对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，实数的取值范围为，故答案为.点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.13、【解析】利用第m行共有个数，前m行共有个数，得的位置即可求解
11、【详解】因为第m行共有个数，前m行共有个数，所以应该在第11行倒数第二个数，所以的位置为.故答案为：【点睛】本题考查等差数列的通项和求和公式，发现每行个数成等差是关键，是基础题14、【解析】由题意有：由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，得解.【详解】解：当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，则由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，故答案为： .【点睛】本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题.15、【解析】用正方体ABCD-A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1与DD1在
12、平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点故正确16、2【解析】根据向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解【详解】由题意，向量，因为向量与垂直，所以，解得故答案为：2.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的垂直关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）经过、四点的圆所过定点的坐标为、【解析】(1)先算出直线方程，根据相切和过点，圆心在轴上联立方程解得答案.(2) 取线段的中点 ，经过、四点的圆是以线段为直径的圆，设点的坐标为，则点的坐标为，将圆方程表示出来，联立方程组解得答案.【
13、详解】(1)由题意知，直线的方程为，整理为一般方程可得由圆的圆心在轴上，可设圆的方程为，由题意有，解得：，故圆的标准方程为.(2)由圆的几何性质知，取线段的中点，由直角三角形的性质可知，故经过、四点的圆是以线段为直径的圆，设点的坐标为，则点的坐标为有则以为直径的圆的方程为：，整理为可得.令，解得或，故经过、四点的圆所过定点的坐标为、.【点睛】本题考查了圆的方程，切线问题，四点共圆，定点问题，综合性强，技巧性高，意在考查学生的综合应用能力.18、，【解析】由图形知旋转后的几何体是一个圆台,从上面挖去一个半球后剩余部分,根据图形中的数据可求出其表面积和体积.【详解】由题意知,所求旋转体的表面积由三
14、部分组成:圆台下底面、侧面和一个半球面，而半球面的表面积 ，圆台的底面积，圆台的侧面积，所以所求几何体的表面积；圆台的体积，半球的体积，所以,旋转体的体积为，故得解.【点睛】本题考查组合体的表面积、体积,还考查了空间想象能力,能想象出旋转后的旋转体的构成是本题的关键，属于中档题.19、（1）；（2）【解析】（1）把的坐标代入方程得到，结合解出后可得标准方程.求出直线的方程，联立椭圆方程和直线方程后可求的坐标，故可得的值.（2）因，故可用表示的坐标，利用它在椭圆上可得与的关系，化简后可得与离心率的关系，由的范围可得的范围.【详解】（1）因为垂直于轴，且点的坐标为，所以，解得，所以椭圆的方程为.所以，直线的方程为，将代入椭圆的方程，解得，所以.（2）因为轴，不妨设在轴上方，.设，因为在椭圆上，所以，解得，
