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1、2020-2021中考数学平行四边形(大题培优)含答案解析一、平行四边形1（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1，在ABC中，AB=3，AD=6，问ABC的高AD与CE的比是多少？小聪的计算思路是：根据题意得：SABC=BCAD=ABCE从而得2AD=CE， 请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2，在ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，求证：BO平分角AOC（2）（探究延伸）如图3，已知直线mn，点A、C是直线m
2、上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且APB=90，两平行线m、n间的距离为4求证：PAPB=2AB（3）（迁移应用）如图4，E为AB边上一点，EDAD，CECB，垂足分别为D，C，DAB=B，AB=，BC=2，AC=，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN求DEM与CEN的周长之和【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5+【解析】分析：(1)、根据平行四边形的性质得出ABF和BCE的面积相等，过点B作OGAF于G，OHCE于H，从而得出AF=CE，然后证明BOG和BOH全等，从而得出BOG=BOH，即角平分线；(2)、过点P作PGn于G，交m于F，根据平行线的
3、性质得出CPF和DPG全等，延长BP交AC于E，证明CPE和DPB全等，根据等积法得出AB=APPB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AFBC于F，设CF=x，根据RtABF和RtACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和同理：EM+EN=AB详解：证明：（1）如图2， 四边形ABCD是平行四边形，SABF=SABCD，SBCE=SABCD， SABF=SBCE，过点B作OGAF于G，OHCE于H， SABF=AFBG，SBCE=CEBH，AFBG=CEBH，即：AFBG=CEB
4、H， AF=CE， BG=BH，在RtBOG和RtBOH中， RtBOGRtBOH， BOG=BOH，OB平分AOC，（2）如图3，过点P作PGn于G，交m于F， mn， PFAC，CFP=BGP=90， 点P是CD中点，在CPF和DPG中， CPFDPG， PF=PG=FG=2，延长BP交AC于E， mn， ECP=BDP， CP=DP，在CPE和DPB中， CPEDPB， PE=PB，APB=90， AE=AB， SAPE=SAPB， SAPE=AEPF=AE=AB，SAPB=APPB，AB=APPB， 即：PAPB=2AB；（3）如图4，延长AD，BC交于点G， BAD=B， AG=BG
5、，过点A作AFBC于F，设CF=x（x0）， BF=BC+CF=x+2， 在RtABF中，AB=，根据勾股定理得，AF2=AB2BF2=34（x+2）2， 在RtACF中，AC=，根据勾股定理得，AF2=AC2CF2=26x2，34（x+2）2=26x2， x=1（舍）或x=1， AF=5，连接EG， SABG=BGAF=SAEG+SBEG=AGDE+BGCE=BG（DE+CE），DE+CE=AF=5， 在RtADE中，点M是AE的中点， AE=2DM=2EM，同理：BE=2CN=2EN， AB=AE+BE， 2DM+2CN=AB， DM+CN=AB，同理：EM+EN=AB DEM与CEN的周
6、长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+（DM+CN）+（EM+EN）=（DE+CN）+AB=5+点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常强，难度较大在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系2四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，求证：DAG=DCG；猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说
7、明HO平分BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出BHO的度数【答案】（1）证明见解析；AGBE理由见解析；（2）证明见解析；（3）BHO=45【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质得DA=DC，ADB=CDB=45，则可根据“SAS”证明ADGCDG，所以DAG=DCG；根据正方形的性质得AB=DC，BAD=CDA=90，根据“SAS”证明ABEDCF，则ABE=DCF，由于DAG=DCG，所以DAG=ABE，然后利用DAG+BAG=90得到ABE+BAG=90，于是可判断AGBE；（2）如答图1所示，过点O作OMBE于点M，ONAG于点
8、N，证明AONBOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分BHG结论成立；（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AGBE；过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，构造全等三角形AONBOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO平分BHG，即BHO=45试题解析：（1）四边形ABCD为正方形，DA=DC，ADB=CDB=45，在ADG和CDG中，ADGCDG（SAS），DAG=DCG；AGBE理由如下：四边形ABCD为正方形，AB=DC，BAD=CDA=90，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），ABE=DCF，DAG=DCG，DAG=ABE，DAG+BAG=90，ABE+BAG=9
9、0，AHB=90，AGBE；（2）由（1）可知AGBE如答图1所示，过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，则四边形OMHN为矩形MON=90，又OAOB，AON=BOMAON+OAN=90，BOM+OBM=90，OAN=OBM在AON与BOM中，AONBOM（AAS）OM=ON，矩形OMHN为正方形，HO平分BHG（3）将图形补充完整，如答图2示，BHO=45与（1）同理，可以证明AGBE过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，与（2）同理，可以证明AONBOM，可得OMHN为正方形，所以HO平分BHG，BHO=45考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质3如图，
10、矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定BOEDOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.详解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，A=90，AD=BC=4，ABDC，OB=OD，OBE=ODF，在BOE和DOF中，
11、BOEDOF（ASA），EO=FO，四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，BDEF，设BE=x，则DE=x，AE=6-x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6-x）2，解得：x= ，BD= =2，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 4如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且ABC+ADC=180（1）求证：四边形ABCD是矩形（2）若ADF：FDC=3：2，DFAC，求
12、BDF的度数【答案】(1)见解析；（2）18.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出ABC=90，根据矩形的判定得出即可；（2）求出FDC的度数，根据三角形内角和定理求出DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出CDO，即可求出答案【详解】（1）证明：AO=CO，BO=DO四边形ABCD是平行四边形，ABC=ADC，ABC+ADC=180，ABC=ADC=90，四边形ABCD是矩形；（2）解：ADC=90，ADF：FDC=3：2，FDC=36，DFAC，DCO=9036=54，四边形ABCD是矩形，OC=OD，ODC=54BDF=ODCFDC=18【点睛
13、】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形5已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P为点D的对应点，再将纸片还原。（I）若点P落在矩形OBCD的边OB上，如图，当点E与点O重合时，求点F的坐标；如图，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若，求点F的坐标：（）若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，边DC上，当OP取最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）。 【答案】（I）点F的坐标为；点F的坐标为；（II）【解析】【分析】（I）根据折叠的性质可得,再由矩形的性质，即可求出F的坐标;由折叠的性质及矩形的特点，易得，得到，再加上平行，可以得到四边形DEPF是平行四边形，在由对角线垂直，得出 是菱形，设菱形的边长为x，在中，由勾股定理建立方程即可求解;()当O,P,F点共线时OP的长度最短.【详解】解：（I）折痕为EF,点P为点D的对应点四边形OBCD是矩形，点F的坐标为折痕为EF，点P为点D的对应点.四边形OBCD是矩形，；四边形DEPF是平行四边形.，是菱形.
