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1、第一部分知识点归纳第一章矢量分析1、三种常用的坐标系(1) 直角坐标系微分线元：d片=a dx + a dy + a dz面积元：(2) 柱坐标系dl = drrdl = rdq， qdl = dzz(3) 球坐标系面积元=dl dl申 z=dl dldSrdSqr zdS = dl dlzq zdS = dydz_dSx = dxdz，体积元：dT = dxdydzydS = dxdyz=rdq dz=drdz，体积元：dT = rdrdqdz=rdrdzdl = drrdl = rd00dl = r sin 0dqqdT = r 2 sin 0drd0dq2、三种坐标系的坐标变量之间的关系
2、(1) 直角坐标系与柱坐标系的关系面积元：dS = dl dlr0dS = dl dl 0 dS=r 2 sin 0d0dq=r sin 0drdq ，体积元： r q=dl dl = rdrd 0r 0x = rcosq y = r sin q 异z = zr =x 2 + y 2yq = arctanxz = z(2) 直角坐标系与球坐标系的关系x = r sin 0 cos q y = r sin 0 sin q, 10 =z = rcos0r = px2 + y2 + z2zarccos ,；x 2 + y 2 + z 2yq = arctan z(3) 柱坐标系与球坐标系的关系r =
3、、：r2 + z 2z=arccosVxA = 0标量场梯度的旋度恒为零,V x Vp = 07、斯托克斯公式：Ja d 了 = JvxA- dSCS第二章静电场和恒定电场1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。描述静电场的基本变量是电场强度E、电 位移矢量D和电位申。电场强度与电位的关系为：戸=_申。&0 -8854x 10-12F/m2、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。其电场强度和电位的 计算公式如下：（1）点电荷分布71 yq R -1E =k k4兀&R 34兀&0 k =1k0体电荷分布% V( A 9 =k=1丄迓红+ C4兀&R0 k =1 k(2)
4、1J p(r，)(7 7)dvvJ p (r，)dv，v(3)面电荷分布1 J p (r，)(7 r)dSE = 4K s01 J p (r)dSS4ks0(4) 线电荷分布p (r )dl_-7 一 rE =4ks01 J p (r)(7- r )dll3、介质中和真空中静电场的基本方程分别为sdS = q,（积分形式）表示意义 介质中的高斯定理（q为S面内的总源电荷和S面内的总极化电荷之和） V D = p （r）（微分形式）R E d 7 = 0,(积分形式)CVx E = 0(微分形式)、表示意、_义安培环路定理,说明静电场是一种发散场，也是保守场。JEd7 = Xq .（积分形式）表
5、示意义_7真空中的咼斯定理S&0 i=1V.E = P（微分形式，P为体电荷密度） 0在线性、各向同性介质中，本构方程为：D = E + P = E = E00 r4、电介质的极化（1）极化介质体积内的极化体电荷密度为：p =v.P（P极化强度矢量）。p（2）介质表面的极化面电荷密度为：p =P7（7为表面的单位法向量矢量）5、在均匀介质中，电位满足的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程，即 V29 = -P（有源区域），V29 = 0（无源区域）6、介质分界面上的边界条件（1）分界面上D的边界条件nD - D = P 或乳（D - D ） = P1n2 nS1 2S（P为分界面上的自由电荷面密度
6、），当分界面上没有S自由电荷时，则有：D = D即乳D =%-D，它给出了D的法向分量在1n2n12介质分界面两侧的关系：（D如果介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧D的法向分量连续；（II）如果介质分界面上分布电荷密度P，D的法向分量从介质1跨过分界面进入介质2s 时将有一增量，这个增量等于分界面上的面电荷密度P。s用电位表示：S 1 + S 2 = P和S 1 = 1 dn2 dnS 1（2）分界面上E的边界条件（切向分量）tnxE = nxE或E1t = E2t，电场强度的切向分量在不同的分界面上总是连续的。由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向分量有限，故在分界面上的电位函数连续，即
7、9 =9。tan 0电力线折射定律：tan 01 = 1。2 27、静电场能量（1）静电荷系统的总能量=1J P dn ；2 nJ p ds 2 s s ，J p dl。2 i 1分界面上（的边界条件体电荷:面电荷:线电荷:1 2（2）导体系统的总能量为：We（3）能量密度静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。场中任 意一点的能量密度为：=D E = rE2 J / m3e 2 2在任何情况下，总静电能可由卬=JE2d来计算。e 2 v8、恒定电场存在于导电媒质中由外加电源维持。描述恒定电场特性的基本变量为电场强度 E和电流密度J，且J = b E。b为媒质的
8、电导率。（1）恒定电场的基本方程电流连续性方程：积分形式:j - d-如SSt微分形式：v-7 =-或v-7 + = 0StSt恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的。场中任一点和任一闭合面内都不能有电荷的增减，即Sq = 0和孚=0。因此，电流连续性方程变为：dS = o和vJ = 0，再加StStS上f E- d 7 = o和v x E = o，这变分别是恒定电场基本方程的积分形式和微分形式。C(2)恒定电场的边界条件 J = J 或 7- (了 J ) = 0,(2) E = E 或 nx (E - E ) = 01n2 n1 21t2t1t2t应用欧姆定律可得： E = c E 和一
9、” o1 1n2 2 n QQ1 2此外，恒定电场的焦耳损耗功率密度为p =QE2,储能密度为3 = 1 &E2 oe 2第四章恒定磁场1、磁场的特性由磁感应强度B和磁场强度H来描述，真空中磁感应强度的计算公式为:(真空磁导率：|卩=4兀X10- H / m,)0(1)线电流：B =耳f Id“x町=耳f Id“x(7产)4 兀 / R 24 兀 / 7 7 3r r(2)面电流:B4兀sJ x（7 7）SdS(3)体电流: f Jx（r_r）4兀tdT2、恒定磁场的基本方程(1) 真空中恒定磁场的基本方程为：A、磁通连续性方程：积分形式：B dS = 0，B、真空中安培环路定理：S、微分形式
10、：V-7 = 0 积分形式：B- d 7 = I / 0微分形式：VxB = y JJ0(2) 磁介质中恒定磁场的基本方程为：A、磁通连续性方程仍然满足：积分形式：f B dS = 0，S、微分形式：V-7 = 0B、磁介质中安培环路定理：积分形式：H-dl = 1 /、微分形式：VxH = JBc、磁性媒质的本构方程：B二卩卩片二卩片（片二一-M,其中M为磁化强度矢量）。0 r卩0恒定磁场是一种漩涡场，因此一般不能用一个标量函数的梯度来描述。3、磁介质的磁化磁介质在磁场中被磁化，其结果是磁介质内部出现净磁矩或宏观磁化电流。磁介质的磁 化程度用磁化强度M表示。（1）磁介质中的束缚体电流密度为：
11、J = VxM ；m（2） 磁介质表面上的束缚面电流密度为：J = m xn （其中,n为表面的单位法向量矢量）mS4、恒定磁场的矢量磁位为：B = VxA，矢量A为矢量磁位。在库仑规范条件（V A - 0 ）下，场与源的关系方程为：V2 A = -7（有源区）V2 A = 0（无源区） 对于分布型的矢量磁位计算公式：（1） 线电流：A = _tj也（2）面电流：A = _tj J dS4k l R4k5、恒定磁场的边界条件（1）分界面上B的边界条件n在两种磁介质的分界面上，取一个跨过分界面 两侧的小扁状闭合柱面 （高h f0为无穷小量丿， 如右图所示，应用磁通连续性方程可得：SR(3)体电流：a = j JdS4k t Rd S = f-ndS - B fdS = 0 s12于是有.n （B B ） = 0或B = B2 11n2 n（2） 分界面上H （切向分量）的边界条件：
