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1、用导数来求函数的极值例 求下列函数的极值：1；2；3分析：按照求极值的基本方法，首先从方程求出在函数定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值解：1函数定义域为R令，得当或时，函数在和上是增函数；当时，函数在（2，2）上是减函数当时，函数有极大值，当时，函数有极小值2函数定义域为R令，得或当或时，函数在和上是减函数；当时，函数在（0，2）上是增函数当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值3函数的定义域为R令，得当或时，函数在和上是减函数；当时，函数在（1，1）上是增函数当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，
2、要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，如果再加之附近导数的符号相反，才能断定函数在处取得极值反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误复杂函数的极值例 求下列函数的极值：1 ；2分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点这两类点就是函数在定义内可能取到极值的全部“可疑点”解：1令，解得，但也可能是极值点当或时，函数在和上是增函数；当时，函数在（0，2）上是减函数当时，函
3、数取得极大值，当时，函数取得极小值2令，得当或时，函数在和上是减函数；当或时，函数在和上是增函数当和时，函数有极小值0，当时，函数有极大值说明：在确定极值时，只讨论满足的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值本题1中处，2中及处函数都不可导，但在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数在这些点处仍取得极值从定义分析，极值与可导无关根据函数的极值确定参数的值例 已知在时取得极值，且1试求常数a、b、c的值；2试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由分析：考察函数是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值
4、点必为的根建立起由极值点所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值解：1解法一：是函数的极值点，是方程，即的两根，由根与系数的关系，得又， （3）由（1）、（2）、（3）解得解法二：由得， （1） （2）又， （3）解（1）、（2）、（3）得2，当或时，当时，函数在和上是增函数，在（1，1）上是减函数当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值说明：解题的成功要靠正确思路的选择本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向可见出路在于“思想认识”在求导之后，不会应用的隐含条件，因而造成
5、了解决问题的最大思维障碍利用导数求函数的极值例 求下列函数的极值：1；2；3分析：按照求极值的基本方法，首先从方程求出在函数定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值解：1函数定义域为R令，得当或时，函数在和上是增函数；当时，函数在（2，2）上是减函数当时，函数有极大值，当时，函数有极小值2函数定义域为R令，得或当或时，函数在和上是减函数；当时，函数在（0，2）上是增函数当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值3函数的定义域为R令，得当或时，函数在和上是减函数；当时，函数在（1，1）上是增函数当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值说明：思维的周密性是解决问
6、题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，如果再加之附近导数的符号相反，才能断定函数在处取得极值反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误复杂函数的极值例 求下列函数的极值：1 ；2分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点这两类点就是函数在定义内可能取到极值的全部“可疑点”解：1令，解得，但也可能是极值点当或时，函数在和上是增函数；当时，函数在（0
7、，2）上是减函数当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值2令，得当或时，函数在和上是减函数；当或时，函数在和上是增函数当和时，函数有极小值0，当时，函数有极大值说明：在确定极值时，只讨论满足的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值本题1中处，2中及处函数都不可导，但在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数在这些点处仍取得极值从定义分析，极值与可导无关根据函数的极值确定参数的值例 已知在时取得极值，且1试求常数a、b、c的值；2试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由分析：考察函数是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极
8、值点与导数的关系，即极值点必为的根建立起由极值点所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值解：1解法一：是函数的极值点，是方程，即的两根，由根与系数的关系，得又， （3）由（1）、（2）、（3）解得解法二：由得， （1） （2）又， （3）解（1）、（2）、（3）得2，当或时，当时，函数在和上是增函数，在（1，1）上是减函数当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值说明：解题的成功要靠正确思路的选择本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向可见出路在于“思想认识”在求导之后，不会
9、应用的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍利用导数求函数的单调性例 讨论下列函数的单调性：1（且）；2（且）；3分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内的符号，来确定函数在该区间上的单调性当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性解： 1函数定义域为R当时，函数在上是增函数当时，函数在上是减函数2函数的定义域是或若，则当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数若，则当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是增函数3函数是奇函数，只需讨论函数
10、在（0，1）上的单调性当时， 若，则，函数在（0，1）上是减函数；若，则，函数在（0，1）上是增函数又函数是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性所以当时，函数在（1，1）上是减函数，当时，函数在（1，1）上是增函数说明：分类讨论是重要的数学解题方法它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断 分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计
11、算能力利用导数求函数的单调区间例 求下列函数的单调区间：1；2；3分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误解：1函数的定义域为R，令，得或函数的单调递增区间为（1，0）和；令，得或，函数的单调递减区间为和（0，1）2函数定义域为令，得函数的递增区间为（0，1）；令，得，函数的单调递减区间为（1，2）3函数定义域为令，得或函数的单调递增区间为和；令，得且，函数的单调递减区间是和说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数
12、的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数的单调递增区间和递减区间分别写成 和 的错误结果这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用求解析式并根据单调性确定参数例 已知，且1设，求的解析式；2设，试问：是否存在实数，使在内为减函数，且在（1，0）内是增函数分析：根据题设条件可以求出的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数是可导函数，因此选
13、择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解解：1由题意得，2若满足条件的存在，则函数在内是减函数，当时，即对于恒成立，解得又函数在（1，0）上是增函数，当时，即对于恒成立，解得故当时，在上是减函数，在（1，0）上是增函数，即满足条件的存在说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决不善于应用恒成立和恒成立，究其原因是对函数的思想方法理解不深利用导数比较大小例 已知a、b为实数，且，其中e为自然对数的底，求证：分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明，可以等价转化为证明，如果，则函数在上是增函数，如果，由增函数的定义可知，当时，有，即解：证法一：，要证，只要证，设，则，且，函数在上是增函数，即，证法二：要证，只要证，即证，设，则，函数在上是减函数又，即说明：“构造”是一种重
