随机决策模型简介

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1、随机决策模型简介陈羽决策（Decision）是人们为了达到某一目标而从多个实现目标的可行方案中选 出最优方案做出的抉择.决策分析（Decision Analysis）是帮助人们进行科学决策的 理论与方法 .在现代管理中 ,管理的核心就是决策 ,正如诺贝尔奖金获得者 H.A.Simon说过的“管理就是决策”决策在管理中起着十分重要的作用本专题 要紧介绍随机决策的基本概念与基本方法,重点介绍风险型决策、不确定型决策 与效用理论.第一节 决策的概念一、实例例1某医院决策者对“CT”室配置“CT”机进行决策.目的是在满足诊断 需要的同时取得最好的经济效益.他们设想的可行方案有三个,分别为配置一台、 两

2、台与三台根据资料，估计在今年内需用“CT”诊断的患者人数有三种可能:人 多、通常、人少.同时,出现这三种情况的概率分别为0. 3、0. 5与0. 2.又计算得 知，当配置一、二、三台“CT”机时，假如病人多，则效益分别为10、22、36（万 元）；通常时，效益分别为 10、20、18（万元）；而病人少时，效益分别为 10、16、 10（万元）.问应选择何种方案，才能达到目标要求？建立实际问题的数学模型，是运筹学解决问题的前提，在这里我们先引入决 策分析问题的精确数学描述，暂不考虑问题的解法.第二节将对该题给出解法.很显然，本题中有三个方案可供选择，每种方案都有三个可能结果，即存在三 个自然状态

3、:病人多、通常、病人少；由于状态是不可操纵的，是随机事件，而每 个状态发生的概率已经分别给出；不一致方案与不一致的状态的效益值也不一致. 为了能够给出问题的数学描述，我们先给出决策问题的一些基本概念.二、决策的基本概念1. 策略集 为实现预期目的而提出的每一个可行方案称之策略 ,全体策略 构成的集合，称之策略集(Strategies Set),也称方案集，记作A = a.,ia (i = 1,2,3n)表示每一个方案.i2. 状态集 系统处于不一致的状况称之状态,它是由人们不可操纵的自然 因素所引起的结果，故称之自然状态全体状态构成的集合称之状态集(States Set), 记作S = s ,

4、 s (j = 1,2,3 m)表示每一状态.jj3. 状态概率 状态s的概率称状态概率(State Probability),记为p(s ) jj4. 益损函数 益损函数(Opportunity Loss Function)是指对应于选取方案与 可能出现的状态,所得到的收益值或者缺失值，记为R 显然，R是A与S的函数，益损函数值可正可负也可为零，假如认定正值表示 收益,那么负值就表示缺失,益损函数的取值就称之益损值.策略集，状态集，益损函数是构成一个决策问题的三项最基本要素.5. 决策准则与最优值 决策者为了寻找最佳方案而采取的准则称之决策准 则(Decision Criterion)，记为

5、.最优值(Optimal Number)是最优方案对应的益损 值，记为 R * 通常选取的决策准则往往是保证收益尽可能大而缺失尽可能小，由于决策者 对收益、缺失价值的偏好程度不一致，对同一决策问题，不一致的决策者会有不 一致的决策准则三、决策的数学模型一个决策问题的数学模型是由策略集A、状态集S、益损函数r与决策准则 构成的因此我们能够用解析法写出上述集合、函数、准则来表示一个决策问 题的数学模型即R = R (A, S) = r ,其中，A = a i = 1,2.n , S = s ijijj = 1,2.m, r是方案a在状态s情况下的益损值.ijij例2给出例9-1问题的数学模型.解

6、数学模型为：策略集A = a = 配制治CTMi = 1,2,3i状态集S = s = s , s , s = 病人多，一般，病人少j 123p( s ) = 0.23状态概率 p(s ) = 0.3 p(s ) = 0.52j = 123益损值 R = r i = 1,2,3ijr = 10 r = 10 r = 10 r = 2211121321r = 2022r23= 16 r = 36 r = 18 r = 10313233另外，决策的数学模型也可用表格法表示，风险型决策也常用决策树方法 表示.例 1 可由表 1 表示，决策树将于第二节全面介绍.表 1 不一致方案在不一致状态下的益损值

7、（万元）方案s (病人多)1p(s ) = 0.3自然状态s (通常) s (病人少)23p(s ) = 0.5p(s ) = 0.223a （配置一台）1101010a （配置两台）2222016a （配置三台）3618103四、决策的步骤与分类一个完整的决策过程通常包含下列几个步骤：确定目标、拟定方案、评价方 案、选择方案、实施决策并利用反馈信息进行操纵决策按问题所处的条件与环 境可分为确定型决策、风险型决策与不确定型决策确定型决策（Certain Decision）是在决策环境完全确定的情况下作出决策.即 每种方案都是在事先已经确定的状态下展开，而且每个方案只有一个结果，这时 只要把各类

8、方案及预期收益列出来，根据目标要求进行选择即可.尽管如此，当 决策可行方案很多时，确定型决策也非常复杂，有的时候可借助线性规划的方法， 去找出最佳方案.风险型决策（Venture Decision）是在决策环境不完全确定的情况下做出的决 策.即每种方案都有几个可能的结果，而且对每个结果发生的概率能够计算或者 估计，用概率分布来描述.正由于各结果的发生或者不发生具有某种概率，因此 这种决策带有一定的风险.不确定型决策（U ncertain Decision）是在对将发生结果的概率一无所知的情况 下做出的决策 .即决策者只掌握了每种方案可能出现的各个结果 ,但不明白各个 结果发生的概率.由于缺乏必

9、要的情报资料,决策者只能根据自己对事物的态度 去进行抉择,不一致的决策者能够有不一致的决策准则 ,因此同一问题就可能有 不一致的抉择与结果这里我们只介绍风险型与不确定型两种决策第二节 风险型决策(有概率的决策)风险型决策也称随机决策，是在状态概率已知的条件下进行的决策本节要 紧介绍风险型决策的条件与一些常用的基本决策准则及决策方法一、风险型决策的基本条件在进行风险型决策分析时，被决策的问题应具备下列条件：(1) 存在决策者希望实现的明确目标；(2) 存在两个或者两个以上的自然状态，但未来毕竟出现哪种自然状态， 决策者不能确定；(3) 存在着两个或者两个以上的可行方案(即策略)可供决策者选择,最

10、后只 选一个方案；(4) 各类方案在各类自然状态下的益损值能够计算出来；(5) 各类自然状态发生的概率能够计算或者估计出来.关于一个风险型决策问题,首先要掌握决策所需的有关资料与信息 ,从而确 定状态集S ,与状态概率P(s .),明确可供选择的策略集A ,继而计算出益损函数 jR(A,S).建立决策数学模型，根据决策目标选择决策准则,从而找出最优方案.二、最大可能准则由概率论知识可知,一个事件的概率越大,它发生的可能性越大.基于这种 考虑,在风险型决策问题中选择一个概率最大的自然状态进行决策 ,而其他状态 能够不管，这种决策准则称之最大可能准则(The Maximum Criterion).

11、利用这种决 策准则进行决策时,把确定的自然状态看作必定事件，其发生的概率看作1,而其 他自然状态看作不可能事件，其发生的概率看作0,这样,认为系统中只有一种确定的自然状态,从而将风险型决策转化为确定型决策.例 3 某药厂要确定下一计划期内某药品的生产批量,根据以往经验并通过 市场调查与预测.现要通过决策分析,确定合理批量,使药厂获得效益最大,表 2 为不一致方案在不一致状态下的益损值.表 2 不一致方案在不一致状态下的益损值（万元）药品销路方案s (好)1 p(s ) = 0.2 1s (通常)2p(s ) = 0.52s (差)3P (S3) = 0.3a （大批量生产）130188a （中

12、批量生产）2252012a （小批量生产）161616解 这是一个风险型决策问题,使用最大可能准则来进行决策.在药品销路 中，自然状态S出现的概率最大，即销路通常的可能性最大现对这一种自然状2态进行决策，通过比较，可知药厂使用策略a （中批量生产）获利最大，因此选取2中批量生产为最优方案.值得注意:在若干种自然状态发生的概率相差很大，而相应的益损值又差别 不大时，使用这种决策准则效果较好假如在若干种自然状态发生的概率都很小, 而且相互很接近时，使用这种决策准则，其效果是不好的，甚至会引起严重错误.三、期望值准则期望值是指概率论中随机变量的数学期望这里使用的是离散型随机变量的数学期望，是将每个策

13、略（方案）都看作离散型随机变量，其取值就是使用该策略时各自然状态下对应的益损值.期望值准则（The Expected Value Criterion）就是选 择期望益损值最大（或者最小）的方案为最优方案用公式表达为：R* = maxE（a ） = maxYr p（s ）i i i j ij jR* = min E（a ） = mr p（s ）i i i ij jj(1)或者(2)其中r是方案a在状态s情况下的益损值，p（s ）是状态s发生的概率.ij i j j j例 4 用期望值准则解例3.解 根据表2所列各类状态概率与益损值,能够算出每个策略的期望益损值:E(a ) = 30 x 0.2

14、+18 x 0.5 + 8 x 0.3 = 17.41E(a ) = 25 x 0.2 + 20 x 0.5 +12 x 0.3 = 18.62E(a ) = 16 x 0.2 +16 x 0.5 +16 x 0.3 = 163通过比较可知E(a ) = 18.6最大，因此使用a也就是采取中批量生产，可能获得的 22效益最大.例5 已知在过去的200天里，某药品在各类销售量下销售天数的记录如表3 所示.设该种药品一旦生产出来需要及时推销出去，如当天不能推销出去，即全部 报废.该药品每件生产成本8元，销售价10元，假设今后的销售情况与过去的销售 情况相同，试确定最优的生产数量.表 3 销售量与销

15、售时间每天销售量(件)8090100110相应的销售天数20708030解 在本例中，自然状态是销售情况,设状态s 1、s、s3、s分别表示销售1234量为80件、90件、100件、110件策略也为4种,设方案a ,a ,a ,a分别表示 1234日生产80件、90件、100件、110件.由表3可计算状态概率: p(s1) = 20/ 200 = 0.1p(s ) = 70 / 200 = 0.3512p(s ) = 80 / 200 = 0.4 p(s ) = 30/ 200 = 0.1534现在计算每个策略在各类自然状态下的益损值.当a , s时,生产80件销售80 件,每件收益10-8=2元,共收益160元，即11r = 160 元，同理 r = r = r = 160 ；1112