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1、第七讲 重积分例1 计算，其中（第四届：一、2）解 例2 设连续，令（），求（第四届：二）解 连续，可导，从而于是，注 题设条件中的“（）”可去掉，结果相同因为去掉条件“”后，由于（）是偶函数，则是奇函数，从而，得例3 记，则下列关系式成立的是（A）；（B）；（C）；（D）；（E）；（F）（第五届大专组：二、5）解 由于，并且被积函数相同、连续、非负，即知；由与的范围，以及被积函数关于单调增，可知故应选（C）例4 求曲面与平面所围成立体的体积（第五届大专组：五）解 所给曲面方程：令，得所围立体在面上的投影区域：，即故所求体积例5 记，其中：，则、与之间的大小关系（用不等式表示）为 （第六届大专
2、组：一、9）解 ，同理，下面比较、的大小：由， ，有，故应填 例6 记，则、与之间的大小关系（用不等式表示为）为 （第六届大专组：一、10）解 记在的内部，有，且连续，；同理，有，故应填例7 求，其中：，（第六届大专组：五）解 例8 计算 ，其中（第七届甲乙组：三）解 由，解得记有例9 （第七届大专组：一、11）解 原式例10 计算（第七届大专组：五）解法1 解法2 例11 设，是全平面，则的值为 （第十五届甲乙组：一、7）解 记则 例12 设 ，且，证明：（第十五届甲乙组：八）证 （1）证明左边不等式方法1：，再由，有，即得 方法1：应用柯西施瓦兹不等式，即得（2）证明右边不等式由，有，故有
3、，即，从而有 （*）再由，有即得右边不等式综上，有 证毕例13 设：，证明：（第十五届甲乙组：九）证 记，在上的最大值与最小值都存在又在上可导，且，故在上的最值必在的边界上取得设令，解得的驻点为，而，所以在上的最大值为，最小值为所以在上的最大值为，最小值为，且，故有证毕例14 设（，是常数），是全平面，则二重积分的值为 （第十五届大专组：一、7）解 设，即故例15 设和为通过原点的曲线称曲线平分曲线之间面积，如果对于上任意点，两个阴影区域的面积相等（如图31）已知的方程为，的方程为， 求的方程（第十五届大专组：五）解 设的方程为由题意，点的坐标为，则，由于，有，即两边求导，即得故的方程为，即6
