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1、（聚焦2008）第6讲：函数的单调性一、知识梳理函数的单调性函数单调性的定义单调递增函数与增区间单调递减函数与减区间证明函数单调性的步骤第一步：设变量x1x2第二步：作差（或商）及变形第二步：判断与0（或1）的大小第四步：得出结论函数单调性的判定方法利用函数单调性的定义进行判定利用函数图像的变化进行判定利用导数判定单调性进行判定利用已知函数的单调性进行判定（一）知识框图（二）重点难点重点：（1）函数单调性的定义；（2）证明函数的单调性；（3）复合函数的单调性判断。难点：（1）复合函数的单调性的判断；（2）含参变数的函数的单调性的讨论。二、考点解读与例题分析（一）在理解单调性的定义时，注意以下几
2、点：（1）函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，因此，定义中的x1、x2具有任意性，不能用特殊值替代。（2）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可有不同的单调性。（3）设x1、x2（a，b），若f（x）在区间（a，b）上为增（减）函数，则有x1x2f（x2）(或f（x1）f（x2）)。（4）若f（x）在区间D1、D2 上分别为增函数，但f（x）在D1D2 上不一定是增函数；例如y，它在（，0）和（0，+）分别为减函数，但在（，0）（0，+）却不是减函数。【例1】（2001年两省一市高考试题）设a0，f（x）=+是R上的偶函
3、数。（1）求a的值；（2）证明：y=f（x）在（0，+）为增函数。（二）函数单调性的判定方法（常用的）（）定义法（基本法）；（）利用函数的图像：增函数：对任意两个自变量的值x1，x2a，b，x1x2f（x1）f（x2），则f（x）在a，b上是增函数。函数yf（x）的图像从左至右看，图像逐渐上升。减函数：对任意两个自变量的值x1，x2a，b，x1x2f（x1）f（x2），则f（x）在a，b上是减函数。函数yf（x）的图像从左至右看，图像逐渐下降。利用已知函数的单调性进行判定；利用函数的性质若f（x）、g（x）都为增（或减）函数，则f（x）g（x）在其公共定义域内为增（或减）函数；若f（x）增函数
4、、g（x）为减函数，则f（x）g（x）在其公共定义域内为增函数；奇函数在对称区间上具有相同的单调性；偶函数在对称区间上具有相反的单调性；互为反函数的两个函数在对应的区间上具有相同的单调性。【例】求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性：（）yxx；（）y；（）ylog（xx）。内层函数外层函数（三）复合函数的单调性（）复合函数的概念：若y=f（u），u=g（x），则y=fg（x）叫做y是x的复合函数。（）对于复合函数yfg（x），若ug（x）在区间（a，b）上是单调增（减）函数，且yf（u）在区间（g（a），g（b）（或者（g（b），g（a）上是单调函数，那么函数yfg（x）在区间（a，
5、b）上的单调性由以下表格所示，实施法则时应首先考虑函数的定义域：单调性函数内层函数u=g（x）增增减减内层函数f=f（u）增减增减复合函数y=fg（x）增减减增此规律可以概括为“同增异减”，即“里外”函数的增减性相同，复合函数为增函数；相反时，复合函数为减函数。注意：有些复合函数g（x）在（a，b）上是单调函数，而f（u）在g（a），g（b）或g（b），g（a）上可能有不同的单调性，要分别讨论。【例】试求函数f（x）=的增区间与减区间？【例】已知函数f（x）=xx，若g（x）f（x），试确定g（x）的单调区间以及单调性。（四）含参数的单调性的讨论由于函数中含有参数会影响函数值的增减变化，因此必
6、须进行讨论。【例】讨论函数f（x）=x（a）的单调性。【例】（）已知函数f（x）=log（x）在，上是单调递增函数，求实数a的取值范围。（）已知函数f（x）=在区间（2，+）上是单调递增函数，求实数a的取值范围。（五）利用导数判定函数的单调性定义：设函数y=f（x）在某个区间内可导，若f（x），则函数y=f（x）在这个区间上是增函数；若f（x），则函数y=f（x）在这个区间上是减函数；若f（x），则函数y=f（x）在这个区间上是常数函数。有些复合函数和含参函数的单调性若利用导数进行判断会很方便。【例】已知函数f（x）=（x），g（x）x，则fg（x）（）（）在（，）上递增（）在（，）上递增（）
7、在（，）上递增（）在（，）上递增【例】（200年两省一市高考试题）设a0，求函数f（x）=ln（xa）且x（，）的单调区间。（六）函数单调性的应用（）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小；（）求某些函数的值域与最值；（）解证不等式；（）作函数的图像。【例】设函数f（x）的定义域为（，），且在（，）上增函数，f（）f（x）f（y）。（）求证：f（），f（xy）f（x）f（y）；（）设f（），解不等式f（x）f（）。【例】设函数f（x）是上的增函数，令（x）f（x）f（x）。（）求证：（x）是上的增函数；（）若（x1）（x2），求证：x1x2；（）若数列an的通项公式为an，试问是否存在
8、正整数n，使（an）取得最值？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由。（聚焦2008四川高考）第6讲：函数的单调性针对训练一、选择题1. 函数y=log3（2x5x2）的单调递增区间是（ ）A. 1，B. （，1）C. ，D. ，2【点击考点】考查求函数的单调区间2. 已知函数y=f（x）在（，+）上是减函数，a、bR，且a+b0，则有（ ）A. f（a）+f（b）f（a）f（b）B. f（a）+f（b）f（a）f（b）C. f（a）+f（b）f（a）+f（b）D. f（a）+f（b）f（a）+f（b）【点击考点】考查函数单调性的应用3. 已知ab，奇函数yf（x）的定义域为a，a，且在区间b
9、，a上单调递减，且f（x）0，则在区间a，b上（ ）A. f（x）0，且|f（x）|单调递减B. f（x）0，且|f（x）|单调递增C. f（x）0，且|f（x）|单调递减D. f（x）0，且|f（x）|单调递增【点击考点】考查利用函数的性质讨论函数的单调性4. 已知，是函数y=xax的单调减区间，则实数a的取值范围是（ ）A.，B. ，C. ，D. ，【点击考点】考查二次函数单调性的讨论5. 已知函数f（x）=xlnx，x（0，5），则下列判断正确的是（ ）A. 函数y=f（x）在（0，5）上是增函数B. 函数y=f（x）在（0，）上是减函数，在（，5）上是增函数C. 函数y=f（x）在（0
10、，5）上是减函数D. 函数y=f（x）在（0，）上是增函数，在（，5）上是减函数【点击考点】考查利用导数判断函数的单调性6. 定义在R上的偶函数y=f（x），满足f（x+1）=f（x），且在区间1，0上单调递增，设a=f（），b=f（2），c=f（3），则（ ）A. cab B. bca C. cba D. abc【点击考点】考查利用函数单调性比较大小二、填空题7. 已知函数y=f（x）是R上的减函数，且y=f（x）的图像经过点A（0，1）和B（3，1），则不等式|f（x+1）|1的解集为_。【点击考点】考查函数单调性的应用8. 已知函数f（x）=x+2的单调增区间为，1，则实数a=_。【点击
11、考点】考查含参函数单调性的讨论问题9. 定义在R上的函数y=f（x）具有下列性质：（1）f（x）f（x）=0；（2）f（x+1）f（x）=1；（3）y=f（x）在0，1上是增函数，则在下列命题中：y=f（x）为周期函数，且最小正周期为4；y=f（x）的图像关于y轴对称且对称轴只有1条；y=f（x）在（3，4）上为减函数，其中正确命题的序号是_。【点击考点】考查函数单调性的综合应用三、解答题10. 已知函数f（x）=ax，其中a1，证明：y=f（x）在区间0，+是单调函数。【点击考点】考查讨论函数的单调性问题11. 已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x0时，f（x）0且f（2）=3。（1）试判断y=f（x）的奇偶性和单调性；（2）当0，时，f（cos23）+f（4m2mcos）0对所有的均成立，求实数a的取值范围。【点击考点】考查函数的单调性与不等式的综合问题10第6讲：函数单调性针对训练
