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1、平面向量的数量积平面向量的数量积的物理背景及基含义重点与难点重点：平面向量的数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。难点：平面向量的数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。知识方法归纳：1向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角。2两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos其中cos称为向量在方向上的投影规定：零向量与任意向量的数量积为0，即=0。注：两个向量的数量积是一个数量，它的大小与两个向量折长度及其夹角的余弦值有关。当时，0；当=90时，=0；当时，0。 3数量积的几何意义等于的长度与在的方向上的投影c
2、os的乘积4向量的数量积的性质：设、为非零向量，为单位向量，是，夹角，则有=cos =0当与同向时，=；当与反向时，=-；特别地=2或=cos=5 向量的数量积的运算律：已知、和实数，则=（交换律）()=()=()（结合律）()=+（分配律）范例剖析例1、 已知、均为单位向量，它们的夹角为60，求|3|。分析：可利用=2或=，及向量数量积运算律解题。解：| + 3|2= ( +3 )2= 2 +6 +92= |2 +6|cos60+9|2=1+6+9=13 | + 3|=点评：对于求|k +t|的值，可利用向量数量积的性质，|k +t|=求解。训练1：已知的夹角为60，求，|+|解：=cos6
3、0=64=12；=2=36；|+|=例2、 已知、都是非零向量，且+ 3与7 5垂直，4与7 2垂直，求与的夹角。分析：由向量数量积的性质， + 3与7 5垂直，则(+ 3)(7 5)=0，4与7 2垂直，则(4)(7 2)=0。解：设与的夹角为， （+ 3）（7 5）,（4）（7 2） (+ 3)(7 5)=0且(4)(7 2)=0 即 7 + 16 15 =0（*） 7 - 30 + 8 =0 两式相减得： 2 = 2，代入（*）式得2= 2，则|=|cos=，=60点评：本题主要考查向量的数量积概念及向量垂直的性质。训练2、已知|=2，|=3，且与也互相垂直，求的值。解：， =0，且（）
4、（）（）（）=达标练习1、已知、为两个单位向量，下列四个命题正确的是（ ）DDDCBC（A）= （B）=0 （C）|1 （D）=2、有下面四个关系式 = 其中正确的个数是（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）13、已知|=3，在方向上的投影是，则=（ ）（A） （B）9 （C）3 （D）4、设是两个单位向量，它们的夹角为60，则（ ）（A）8 （B） （C） （D）85、在ABC中，若，则ABC为（ ）（A）正三角形 （B）等腰三角形 （C）直角三角形 （D）无法确定6、已知|2=1，|2=2，且（），则与的夹角为（ ）（A）30 （B）45 （C）60 （D）907、若0，则与夹角的取值
5、范围是_ ， 8、若向量和的长度分别为4和3，夹角为，则|+|=_9、已知，求与的夹角。解：cos=,与的夹角为 12010、已知ABC的三边长满足|AB|=1，|BC|=2，|AC|=，求的值。解：由已知得|AB|=1，|BC|=2，|AC|=，ABC为直角三角形。且A=30，B=60，C=90，则=点评：注意求两向量夹角时，两个向量的起点必须重合。11、（1）已知求向量与夹角的余弦值；（2）非零向量(+)与(2)互相垂直，且(2)与(2+)互相垂直，求向量与夹角的余弦值。解：（1）（2）(+)(2)，(2)(2+) (+)(2)=0，即22+2=0(2)(2+)=0，即22322=03+得代入式得=12、已知、是两个单位向量， 且（其中k0），（1）与能垂直吗？（2）若与夹角为，求k的值12题提示：（1） 且由|=|=1，可得： ， 与不能垂直（2）与夹角为，且|=|=1， 为所求
