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1、 高三数学跨越一本线精品误区三：对定积分概念及几何意义理解不清致误定积分是高考数学理科试卷常考问题,一般以客观题形式出现,主要考查求定积分及利用定积分求曲边多边形的面积,难度是中等或中等以下,在高考试题中属于得分题,但由于教材中定积分的内容比较少,安排的课时比较少,教学中对其重视不够,致使相当一部分同学对定积分概念及几何意义理解不清,在基础试题上失分,实在可惜.总结近几年高考试卷定积分失分情况主要有以下几种类型：求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错,不会用面积法求积分, 对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确下面对这几类典型问题进行扼要剖析, 供同学们参考.一、求对被积函数与原函数
2、关系不清或求原函数出错要求定积分首先要要求出被积函数的原函数,为此对高中阶段我们需要掌握的函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、五个特殊的幂函数、三角函数、对勾函数等要会求其定积分当被积函数比较复杂,看不出原函数时,我们可以先化简,再积分.【例1】【湖北省龙泉中学、宜昌一中高三10月联考】= （ ）A B C D【错因分析】本题易出错的原因有两方面,一是不知道如何化简被积函数,求不出原函数,由于被积函数比较复杂,可先化简三角函数式,然后再求定积分.二是对公式的记忆不准确,误以为的原函数是.【答案】C【解析】,故选C【小试牛刀】【20xx河南百校联盟高三理11月质监】曲线直线
3、,以及轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】所求面积,故选D.二、不会用面积法求积分根据定积分的几何意义,我们可以用定积分求曲边多边形的面积,反过来,我们也可以通过求曲边多边形的面积来求定积分,特别是被积函数的原函数不易求的,高中阶段一些被积函数是二次根式的一般用面积法去求,求的时候注意取值区间.【例2】【四川双流中学高三训练】定积分的值为（ ）A B C D【错因分析】由于无法求出的原函数,又不知道利用面积求定积分,导致解题受阻,或忽略y的范围,把定积分的值等同于整个圆的面积.【答案】A【小试牛刀】【黑龙江牡丹江一中高三10月】 【答案】【解析】,表示的几何
4、意义是以为圆心,1为半径,四分之一圆的面积为,三、对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确定积分的主要应用是求曲边多边形的面积,其步骤是：（1）画图；（2）求交点坐标,分出函数的上下关系；（3）分割曲边梯形,根据交点坐标,分成几个部分；（4）对每个部分求积分,找出每个部分的面积,然后相加【例3】抛物线y22x与直线y4x围成的平面图形的面积为_【错因分析】一是对定积分理解不透彻不知道面积肯定是正的,而积分可以为任意实数致误；二是对于有交叉的图形,不知道分段处理；对于具有对称性的图形,不善于利用对称性,使问题简化；三是在求面积的时候找不到上下关系,求出的值易出错；四是 有些题目让我们求封闭图
5、形的面积,有些同学们误认为坐标轴也是封闭图形的一条线,事实上有些题目的封闭图形中,并不包含坐标轴 【小试牛刀】【河北省正定中学高三上学期期中】由直线,曲线以及轴围成的图形的面积为_【答案】【解析】首先根据已知条件画出其所表示的图形的面积,然后将所求的面积分为两部分：第一部分为曲边梯形,第二部分为直角三角形,所以,所以所求的面积为,故应填【点评】本题考查了定积分的几何意义和微积分基本定理,渗透着数形结合的数学思想,属中档题其解题的一般思路为：首先根据已知条件可画出其所表示的区域,然后对其进行适当分割,转化为求两部分面积即一个是曲边梯形和一个直角三角形的面积之和,再运用微积分基本定理和三角形的面积
6、公式即可求出所求的答案其解题的关键是正确的表示所求的区域的面积和适当的分割【迁移运用】1【黑龙江虎林一中高三理上学期月考】曲线 和曲线 围成的图形面积是（ ）A B C. D【答案】A【解析】由或所求的面积为,故选A.2【山东临沂市高三理上学期期中】已知等差数列的值为A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】,所以,根据等差数列的性质,故选C.3【福建省师大附中高三上学期期中】若,则（ ）A1 B C D1【答案】B【解析】设,则,所以,解得, 所以,故选B4【河南省中原名校高三上学期第一次联考】由曲线,直线,及轴所围成图形的面积是（ ）A B C D【答案】B【解析】曲线,直线,及轴所
7、围成图形的面积,故答案为B5【山东省乳山市一中高三10月月考】曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A B C D【答案】D6【学年江西省新余一中等校高三联考】已知,则实数的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】根据题意有,解得,故选B7.若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx0,则称f(x),g(x)为区间1,1上的一组正交函数,给出三组函数：f(x)sinx,g(x)cosx；f(x)x1,g(x)x1；f(x)x,g(x)x2.其中为区间1,1上的正交函数的组数是()A0 B1 C2 D3【答案】C8.直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的
8、图形的面积等于()A. B2 C. D.【答案】C【解析】由已知得l：y1,解方程组 得交点坐标为(2,1),(2,1)如图阴影部分,由于l与C围成的图形关于y轴对称,所以所求面积S2dx2|2.故选C.9【甘肃天水一中高三理12月月考】由曲线与直线所围成的平面图形的面积为 【答案】【解析】由10【河北武邑中学高三理上学期调研】已知,则函数的单调递减区间是_.【答案】11【福建福州外国语学校高三上学期期中】函数的图象与轴所围成的封闭图形面积为 【答案】【解析】,函数的图象与轴所围成的封闭图形面积为故答案为：.12【四川双流中学高三上学期必得分训练】曲线与直线,所围成图形面积为 .【答案】【解析
9、】,故填.13【广东七校联合体高三上学期联考】的值等于_【答案】【解析】,其中表示半径为的圆的面积的,因此原式等于,故填.14【山东陵县一中高三12月月考】定积分 的值为 【答案】【解析】因故应填答案15【20xx山东潍坊市高三上学期期中联考】定积分的值为 【答案】【解析】,故答案为.16【河南中原名校高三上质检】已知函数,则 .【答案】【解析】,其中,其中由定积分的几何意义可知,其表示半径为的圆的面积的,即,故.17【安徽蚌埠怀远县高三上学期摸底】_【答案】19【辽宁省沈阳市二中高三上学期期中】由直线, ,与曲线所围成的图形的面积等于 【答案】【解析】由定积分的几何意义可知所求面积为19.设a0,若曲线y与直线xa, y0所围成封闭图形的面积为a2,则a_【答案】【解析】由题意知dxa2.又,则xa2.即aa2,所以a.20.dxdx_【答案】21
