潮汐现象的力学分析及类似现象的探索.doc

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1、潮汐现象的力学分析及类似现象的探索学生 赵爱军 指导教师 焦志莲摘 要 讨论引潮力的成因,对引潮力及涨落公式从不同角度进行推导。在牛顿力学中,引潮力是在非惯性参考系中引力与惯性力叠加的必然结果,从更为本质的意义上来说,按广义相对论的观点,引潮力则是时空弯曲的反映。天文上有许多伴星围绕主星运行,若伴星的轨道小到某一临界半径之内,它就会被主星的引潮力撕成碎片。关键词 潮汐 引潮力 万有引力 0 引 言地球上的海洋周期性的涨落称为海洋潮汐。我国自古有“昼涨称潮,夜涨称汐”的说法1。在公元前2世纪已记载月望(满月)之日可以看到十分壮观的海潮(枚乘:七发140 B.C),东汉王充在论衡中已写道“涛之起也

2、,随月盛衰,大小,满损不齐同”指出潮汐与月球的关系,其后更有余靖、张君房、燕肃、沈括、郭守敬等人对潮汐观测得到相当精确的结果2,李约瑟(Joseph Needham,19001995)曾说:“ 近代以前,中国对潮汐现象的了解与兴趣总的来说是多余欧洲的”3。古人称白天为“朝”, 晚上为“夕”, 所以以海洋潮汐为例, 白天海水上涨为“潮”, 晚上海水上涨为“汐”。潮汐现象是一种普遍的自然现象。有资料4称:“地球上海洋的周期性涨落称为潮汐”,并解释说是“一昼夜中两次潮水涨起,随之有两次跌落”。这一注解容易使人误认为海水的潮汐就是一昼夜的两涨两落现象。事实上潮汐有多种, 就海洋潮汐而言, 就有根据太阳

3、、月亮、地球排列位置分的“大潮”和“小潮”;根据月球与地球距离分的“近地潮”和“远地潮”;根据引潮力方向分“顺潮”和“对潮”等。以一昼夜高、低潮出现的次数不同又可分为以下几类:半日潮:是指一昼夜内出现两次高潮和两次低潮。全日潮:是指一昼夜内只有一次高潮和一次低潮。混合潮:是指一个月内有些日子出现两次高潮和两次低潮, 有些日子出现一次高潮和一次低潮5。所以潮汐现象不仅仅是一昼夜中海水的两涨两落现象。下面以海水的半日潮为例分析其形成过程及物理本质。1 潮汐现象的力学分析1.1 引潮力产生的分析月球对海水的引力是造成潮汐的主要原因,太阳的引力也起一定的作用。潮汐现象的特点(半日潮)是每昼夜有两次高潮

4、。所以,在同一时刻,围绕地球的海平面总有两个突起部分,在理想的情况下它们分别出现在地表离月球最近和最远的地方。如果仅把潮汐看成是月球引力造成的,那么在离月球最近的地方海水隆起,是可以理解的。为什么离月球最远的地方海水也隆起呢? 如果说潮汐是万有引力引起的,潮汐力在大小就应该与质量成正比,与距离平方成反比。太阳的质量比月球大倍,而太阳到地球距离的平方只比月球的大倍6,两者相除,似乎太阳对海水的引力比月球还应该大180倍,为什么实际上月球对潮汐起主要作用?aF=-ma大家都知道,太空工作站上的宇航员是漂浮在空中的,因为他处在失重状态,原因就是他受到的重力和惯性力“精确”抵消,从广义相对论的观点看,

5、牛顿力学所谓“真实的引力”和“因加速度产生的惯性力”是等价的,实际中无法区分。但这种等价性在大尺度范围内就不再是“精确的”了,如果那个“太空工作站”足够大,当其中引力场的不均匀性不能忽略时,惯性力就不能把引力完全抵消了。如图1示,设想在太空工作站内有5个质点,C在中央,即系统的质心上,A和B分别在C的左右,D和E分别在C的上下。考虑到引力是遵从平方反比律且指向地心的,与中央质点C 所受的引力相比,A和B受到的引力略向中间偏斜,D因离地心稍远而受力稍小,E因离地心稍近而受力稍大。由于整个参考系是以质心C的加速度运动的,其中的惯性力只把C点所受的引力精确抵消,它与其他各质点所受的引力叠加,都剩下一

6、点残余的力。如果太空工作站的空间非常大时,那么这种偏差就会更明显,它们这时所受力的方向如图2所示,A和B受到的残余力指向C、D和E受到的残余力背离C,所以,如果在中央C处有个较大的水珠的话,严格地说它也不是球形,而是沿上下拉长了椭球。yyxyccRPrr地球月球图yx图x把地球当做一个对象,其中引力不均匀性造成的应是很大的。地球表面70 %的面积为海水所覆盖,地球自转造成的惯性离心力已计算在海水的视重里,所以我们可以取地心作为参考系,不必考虑地球的自转,这样一来,就可以把它看成是由海水形成的一个巨大的水滴。如果没有外部引力的不均匀性,这个大水滴将精确地呈球形。现在考虑月球引力的影响。如图3所示

7、,在地心参考系中各地海水所受月球的有效引力是“真实的引力”和地心的离心加速度造成的“惯性离心力”之和。这有效引力的分布就像图4所示那样,把海水沿地-月联线方向拉长为一个椭球。这就是为什么在地球相对位置会同时出现潮汐,使得每天有两次潮,而不是一次的原因。1.2 引潮力的计算7现在让我们来看看地-月引潮力的大小, 在图3中C和C分别是地球和月球的质心, O是它们共同的质心,P点是质量为m的海水,地月质心之间的距离,地面上一点到月球质心的距离,地面上一点到地心的距离。m的海水受月球的吸引力为 (1-2-1) 任何质心在地心参考系内所受的惯性力,等于把它放在地心处所受引力的负值,因此地球上所有物体受到

8、的惯性力为 (1-2-2)和合成为引力 (1-2-3)由图可以看出:,故 (1-2-4)取直角坐标的x轴沿,y轴与之垂直,如图所示,则 , (1-2-5)故 (1-2-6) (1-2-7)在以上两式中实为地球的半径,实为地月距离,归纳以上结果,我们得到引潮力公式的分量形式如下 (1-2-8) (1-2-9)引潮力在地表上的分布如图,在=和处(即离月球最近和最远处)是背离地心的,在这些地方形成海水的高峰;在处指向地心,形成海水低谷。随着地球的自转,一昼夜之间有两个高峰和两个低谷扫过每个地方,形成两次高潮和两次低潮。上式同样也适用于太阳,只是其中的和应分别代之以太阳的质量和日-地距离,经替代后可得

9、 (1-2-10) (1-2-11)通过上述推导表明引潮力与质量成正比,与距离的立方成反比,故月潮和日潮大小之比为月球月球地球图(a)图(b)地球这个结果说明,尽管地球上太阳的引力比月球的大180多倍,但月球对地球上潮汐的效应约为太阳的两倍,这就解释了为什么月球而不是太阳对潮汐起着主要作用。其原因也可以认为是:潮汐力与引力场的梯度有关,月球离地球近,它的场横过地球的变化相当大,而对相距甚远的太阳的场则近乎不变(变化小的多)。假如横过地球时场的变化为零,那么不管此场多强,也不会产生潮汐现象8。日月引潮力的效果是线性叠加的,合成的结果与日、月的相对方位有关。在朔日和望日,月球、太阳和地球几乎在同一

10、直线上(如图5a),太阴潮和太阳潮彼此相加,就形成每月的两次大潮。上弦月和下弦月时月球和太阳的黄经相距(如图5b),太阴潮被太阳潮抵消了一部分,就形成每月里的小潮9。1.3 潮汐涨落公式的推导通过上面的力学推导,我们知道在引潮力的作用下海平面可以周期性的涨落,那么海平面到底可以升高多少呢?我们可以利用牛顿力学来推导,也可以利用等势面的方法来推导。下面首先利用牛顿设计的一种方法来计算潮汐涨落的高度。图6 r1.3.1 牛顿推导10如图6所示,设想在地球内和方向分别挖一个竖井直达地心相通。二井深度分别为和,截面积为,井内充满水。先计算井中的水在地心处产生的压强。以表示水的密度,视为常数。一段内水的

11、质量为,它受地球的引力为,其中是在处的重力加速度。此处潮汐力可利用引潮力公式表示,只是用取代其中的。由此可得一段水产生的压强 (1-3-1)将此式对整个井深积分,可得井底的压强 (1-3-2)同样的道理得出井底的压强 (1-3-3)在稳定情况下,即移项可得 (1-3-4)此式在左侧积分可合并为。由于和都和地球半径相差不多,就可取地球表面的重力加速度值=。这样 其中可视为潮高。上式右侧可取而合并为 由此可给出 而潮高 (1-3-5)将,代入上式,可得到月球引起的潮汐太阴潮之高: 上述分析同样可以用来分析太阳在地球上引起的潮汐太阳潮。与上式类似,太阳潮高为: (1-3-6)将太阳的质量,它到地心的

12、距离代入上式,可得 实际上潮高为和的矢量叠加。在朔日和望日月球、太阳和地球几乎在同一直线上,太阳潮和太阴潮相加形成大潮,高潮可达到。在上弦月或下弦月时,月球和地球的方位垂直,二者相消一部分,形成小潮,潮高为。(如图5)一个月内大潮和小潮个出现两次。和实际观测相比以上潮高的计算值偏小,该计算值约适用于开扩的洋面。1.3.2 利用等势面推导11海水受到来自月球的引潮力的作用,致使海水发生全球范围的大变化,破坏了原来的平衡状态,于是压强大的海水挤向压强小的海水,使的这部分海水凸出来了,直到海面的压强相等达到新的平衡为止,我们知道平衡液面是等势面,根据这一原理我们讨论潮汐的涨落的涨落公式12。如图3,在地心参照系中,考察某点处的海水,除了月球的引力势能及地球本身的引力势能外,因惯性力是恒力,可以认为是关于位置的函数,故引入一个惯性场力的等势能。具体地说,首先月球对点引力的对应势为 (1-3-7)其次,地球对点引力对应的势能为设其中为点到平均海平面的高度,为平均海平面到地心的距离,即地心半径。因为则点的引力势能可近似等于重力势能,即 (1-3-8)最后,海平面上一点受到惯性场力的对应等效势能为12

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