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1、 4.1 算符的一般运算规则 重点： 线性算符、厄密算符的定义及物理意义 算符是指作用在一个函数上得出别一个函数的运算符号。 例如： ，则 就是一个求微商运算的算符。同理， ，等运算符号，也是算符。 （一） 算符相等 如果算符 分别作用于任意一个函数 上，得出 （4.1-1） 则我们说，算符 等于算符 ，即 （4.1-2）(二)算符相加 如果把算符 分别作用于任意一个函数 （4.1-3） 则算符 是 之和： （4.1-4） (三)算符相乘 如果两算符 先后作用于任意一个函数 （4.1-5） 则说算符 等于 和乘积：（4.1-6）一般来说，两算符的积不满足交换律，即 （4.1-7） 称满足上式的
2、两算符 是不可对易的。例如 是不可对易的，即 因为把它们分别作用在任一函数 上，则有 显然两者的作用结果不相等。在某些情况下，若 （4.1-8） 则称算符 是可对易的。例如 是可对易的，即 因为对于任一函数 ，显然有 如果算符 满足下列等式 （4.1-9） 则称算符 是反易对的。还应当注意两点：（1）如果算符 对易， 对易，则我们一般不能由此得出结论说 对易。例如 和 对易， 和 对 易。但 和 不对易。（2）两算符相乘不满足对易律，故在相乘时不要随便改变各因子次序 (除非 可对易)（四）线性算符设 是两个任意函数， 是两个任意常数，如果算符 满足下列等式 （4.1-10）则 称为线性算符，例
3、如 等是线性算符，而 则不是线性算符。因为 (五)算符的本征值与本征函数 如果算符 作用于一个函数 ，结果等于一个常数 的乘积： （4.1-11） 则称 为算符 的本征值， 称为算符 的本征函数。方程称为算符 的本征值方程。 例如定态薛定谔方程 就是本征值方程的典型的例子，其中 是算符 的本征函数，能量 就是 的本征值。 （六）厄密算符 如果对于任意函数 ，算符 满足下列等式 （4.1-12a）或写为 （4.1-12b） 则称 为厄密算符。厄密算符有一个重要的性质：它的本征值是实数。下面证明这一点：设 是厄密算符，以 表示它的本征值， 表示所属的本征函数，则 令（4.1-12a）式中的两个函数 和 都等于 的本征函数，即取 ，于是有 由此得到 即 是实数。
