列表如下：度数三角函数 0°30°45°60°90°sinα01222321cosα13222120【知识拓展】记忆特殊角的三角函数（正弦、余弦）值有如下方法：（1）图形记忆法，根据特殊角所在的三角形来记2）列表记忆，如上表3）规律记忆法，30°，45°，60°的正弦值的分子依次是1，2，3，分母都是2，而相应的余弦值的分母都是2，分子依次是3，2，1例2 求下列各式的值1）2sin45°+sin30°∙cos60°；（2）2+1cos90°-sin60°-1-3+12-cos 0°+-13针对性训练2】4cos30°∙sin60°+（-2）-1-（2009-2008）0=___________知识点3 互余两角的正弦和余弦的关系 观察等式：sin30°=cos60°=12，cos30°=sin60°=32，cos45°=sin45°=22不难发现上述等式有如下特点：三角函数名称互换，三角函数值相等 上述规律我们可以推广到任意锐角任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即sinA=cos（90°－A）任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，即cosA=sin（90°－A）易错点津】对公式sinA=cos(90°－A)和cosA=sin（90°－A）的理解要注意；∠A为锐角；在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的邻边与斜边的比，实际上就是∠B（即90°－∠A）的对边与斜边的比。
例3 若cos55°≈0.5736，则sin35°+0.4264=__________针对性训练3】化简下列各式1）1—sin70°+cos20°； （2）2sin10°3cos80°知识点4 同角的正弦和余弦的关系同一个锐角的正余弦的平方和等于1∵sin30°=12，cos30°=32，∴sin230°+cos230°=（12）2+（32）2=1∵sin45°=22，cos45°=22，sin245°+cos245°=（22）2+（22）2=1∵sin60°=32，cos60°=12，sin260°+cos260°=（32）2+（12）2=1观察上面的等式，猜想对于任意的锐角α都有sin2α+cos2α=1在Rt△ABC中，已知∠C=90°，设∠A=α，∵sinα=BCAB，cosα=ACAB，∴sin2α+cos2α=BC2AB2+AC2AB2=AC2+BC2AB2又由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，∴sin2α+cos2α=AB2AB2=1，于是有sin2α+cos2α=1α为锐角拓展应用】∵sin45°=22，cos45°=22，∴sin45°=cos45°，当0°<α<45°时，sinα<22，而cosα>22，此时sinα22，而cosα<22，此时，sinα>cosα。
易错点津】对公式sin2α+cos2α=1（α为锐角）的理解与应用要注意；sin2α代表的含义是sinα的平方（即比值的平方），书写格式应为sin2α，而不是sin2α例4 化简cos21°+cos22°+…+cos289°针对性训练4】若α为锐角，且sin250°+sin2α=1，则α=_________知识点5 锐角的正弦值、余弦值的增减性由特殊角的三角函数值，我们知道：sin0°cos30°>cos45°>cos60°>cos90°观察上述两个不等式，我们不难发现下列规律：（1）锐角α的正弦值随着α的增大（减小）而增大（减小）2）锐角α的余弦值随着α的增大（减小）而减小（增大）该规律用数学语言表示为（0°<α<90°，0°<β<90°）：（1）若α>β，则sinα>sinβ，cosαcosβ方法归纳】充分利用正、余弦函数的增减性，正确比较角的正、余弦值，牢记当α为锐角时，cosα与sinα的增减性是相反的，即当α增大时，sinα增大而cos减小，两者在α=45°时相等。
例5 化简下列各式1）sin36°－sin42° ；（2）cos25°－cos47°；【针对性训练5】若∠A是锐角，且cosA=34，则（ ）A．0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°C．45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°例6如图所示，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=___________.综合应用例7 已知sinα∙cosα=18，求cosα-sinα的值例8 在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边长c=5，两条直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值例9 如图所示，河流的两岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测得∠CBN=70°，求河流的宽度CE结果保留两个有效数字，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82， tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）例10 三角函数中有常用公式：sin（A+B）=sinA·cosB+cosA·sinB，利用该公式可以求sin（A+B）的值。
例如：sin75°=sin（45°+30°）=sin45°·cos30°+cos45°·sin30°=22×32×22×12=6+24，试用公式cos（A+B）=cosA·cosB－sinA·sinB，求cos75°的值例11 水务部门为加强防汛工作，决定对程家水库进行加固原大坝的横断面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为10米，∠B=60°，背水面DC的长度为103米，加固后大坝的横断面为梯形ABED若CE的长为5米1）已知需要加固的大坝长为100米，求需要填土方多少立方米；（2）求新大坝背水面DE的坡度计算结果保留根号）例12 已知a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a1-x2+2bx+c1+x2=0有两个相等的实数根，且3 c=a+3b1）判断△ABC的形状；（2）求sinA+sinB的值例13 在△ABC中，∠B=90°，BC=4，AB=5，求sinA和cosA例14 已知α为锐角，4sin2α－3=0，求sinα的值例15 在△ABC中，∠C=90°，cosA=32，AC=43，求BC的长例16如图所示，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=8。
1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积；（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积用含θ，a，b的代表式表示）学习质量测控1、在Rt△ABC中，若∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果sinAsinB=23，那么ab等于（ ）A.23 B.32 C.49 D.942、如图所示，先锋村准备在坡度为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么相邻两树的坡面上的距离AB为（ ）A.5cosα米 B.5cosα米 C.5sinα米 D.5sinα米 3、如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD=CD，cos∠DCA=45，BC=10，则AB的值是（ ）A.9 B.8 C.6 D.34、在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，sinA=35，则AB的长是_______cm。
5、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1:2:3，则sinA=______，cosB=_______6、如图所示，在△ABC中，∠B=45°，cosC=35，AC=5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是_________7、计算（1）22cos45°-sin60°+244（2）12+2sin60°8、如图所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=35（1）求点B的坐标；（2）求cos∠BAO的值。