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1、几何学辅导纲要第一章公理化方法与非欧几何主要内容：1几何学公理化方法的构造和原理及其作用、意义2希尔伯特公理体系的结构3公理系统的相容性、独立性和完备性4罗氏几何和黎曼几何的数学模型重点掌握：1公理法的三个基本问题是相容性问题、独立性问题、完备性问题。2. 公理法的结构是原始概念的列举； 定义的叙述；公理的叙述；定理的叙述和证明 . 3三角形内角和等于 180 度与欧氏平行公理等价。4 欧氏几何与非欧几何的本质区别为平行公设不同。5公理系统的完备性 :如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。6几何公理 :公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理
2、论体系的少数思想规定。 在几何演绎体系里， 每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为依据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止。 因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础，这就是公理。7公理系统的相容性 :一个公理系统及其一切推论不含有矛盾命题时，称这个公理系统是相容的或无矛盾的。8欧几里得的第五公设：在一平面上如果直线l 与另外两条直线a, b 相交，有一侧的两个同侧内角,的和小于两直角，则直线a 与 b 在同侧内角的和小于两直角的那一侧相交。lab9公理法的基本思想：若干个原始概念（包括元素和关系） 、定义和公理一起叫做一
3、个公理体系， 构成了一种几何的基础。 全部元素的集合构成了这种几何的空间。 在这个公理体系的基础上， 每个概念都必须给出定义， 每个命题都必须给出证明， 原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统逻辑结构， 这就是公理法思想。10公理系统的独立性： 如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明， 即不时其余公理的推论， 则称这条公理在公理系统中是独立的。 如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。第二章 射影变换群与几何学主要内容：1点变换的概念2正交变换的不变性质与不变量3相似变换的不变性质与不变量4仿射变换的不变性质与不变量5射影变换的不变
4、性质与不变量6非齐次坐标7利用不变量对二次曲线进行分类8利用不变量将二次曲线的一般方程化简为标准型重点掌握：1仿射变换把平行线变成平行线，把正三角形变成三角形，把矩形变成平行四边形。2设共线三点 A 0,2 , B(2,0), C(1,1) ，则 ( ACB)2。4共点的直线经仿射变换后变成共点的直线。5不共线的点经仿射变换后变成不共线的点。6在仿射对应下，单比不变。7设点 A, B,C 共线，且在仿射变换下分别变成A , B ,C ，则 A, B ,C 三点共线。8正方形在仿射变换下变成平行四边形。9对正方形，对边平行、对角线互相平分是仿射性质。10线段的中点、交比、点偶的调和共轭性、两平行
5、线段的比和对称中心都属于仿射性质。11求一个仿射变换，它把抛物线y22 x 变成自身，把原点(0,0)变成点 (2, 2) 。设所求的仿射变换为x a11 xa12 ya1y a21xa22 ya2由它把（ 0，0）变成（ 2，2）可知 a1a2 2因为它把抛物线 y22x 变成自身，所以x a11y2a12 y22y a21y2a22 y22应满足y 22x ，于是(a21y2a22 y2)22(a11y2a12 y2)22即2y4322a21 )y24a22 y 4 a11 y22a12 y4a21a21 a22 y(a224比较方程两边的系数得a210, a11a222 , a122a2
6、2令a22 ，则 a112 ,a122，因此所求的仿射变换为x 2 x2y2y y2它依赖于参数。12求出将点 (2,3)变成点 (0,1)的平移变换，在这个平移变换下，抛物线y2x8 y180变成什么曲线？设所求的平移变换为xxay yb将已知对应点的坐标代入上式得02a13b于是a2, b4所以所求的平移变换为xx2xx 2y y4即y 4y将此变换用于所给的抛物线上( y 4) 2( x 2)8( y 4)180即 y 2 x 013求出将点 (3,1) 变成点 ( 1,3) 的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线y 2x8 y180上。设所求的旋转变换为xx cosy sinyx
7、siny cos则于是所求的旋转变换为2x y即 x y y xyx将此变换用于所给的抛物线得x 28x y 18 0 。14 求仿射变换x 7xy1 的二重直线。y 4x2 y4设所求的不变直线为Ax By C 0（ A, B 不同时为 0）即在所给的变换下， AxByC0 对应 Ax By C 0因为Ax By CA(7xy 1)B(4 x 2y4)C(7 A 4B) x(A 2B) y( A4B C)7 A4BA(1)所以A2BB(2)A4BCC(3)消去 A, B,C 得7401200141展开化简得(1)(7)(2)4(1)0解得1,3,6由于当1时， AB0 ，因此不对应不变直线，
8、分别将3,6 代入（ 1），（ 2），（ 3）得3和A4B, C0AB,CB2所以不变直线为 2 x2 y3 0 和4 x y 015 若存在，求下列各点的非齐次坐标(1)(0,5, 6) ，(2) (1,8,0)(1).存在，设 ( x1 , x2 , x3 )(0,5,6)，则这个点的非齐次坐标为(x, y) ( x1, x2) (0,5) 。x3x36(2). 不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。16证明：使向量内积保持不变的仿射变换是正交变换。设在使二向量内积不变的仿射变换下，点A变成点 A ，点 B变成点 B ，则d 22AB AB AB AB2(A,B) ABABd 2 ( A,
9、B)所以 d ( A , B )d ( A, B) （ d 表示两点间的距离） 。由于这个变换保持两点间的距离不变，因此它是正交变换。17线坐标 1,1, 1 所表示的直线方程为 x1x2x30 或 xy10 。18在仿射变换下，菱形的对边平行、对角线互相平分和对边相等的性质在仿射变换下保持不变；邻边相等、对角线互相垂直和对角线平分菱形对角的性质都改变了。19相交于影消线的二直线必射影成两平行线。设二直线 l1 和 l 2 交于 P 点， P 点在影消线上， l1 和 l2 经射影对应，对应直线为 l1 和 l2 ，则 P 点对应无穷远点。由于射影对应保持结合性不变，所以P 的对应点是 l1 和 l2 的交点，即无穷远点，也就是 l 1 l2 。20. 将二次曲线 9 x230 xy25 y 212 x20 y 4 0 化简成标准型。A 9B 15C 25D 6E10F 41）计算不变量I 1AC34,I 2ABACB 20BCABD9156I 3BCE1525100DEF61042）判别类型I 20 说明曲线为抛物线型I 30 说明曲线为退化的抛物线故仍需求 H FD 2E 24100360I134故曲线为两重合直线标准方程为y 2021设 ABC 的内切圆与三边 BC ,CA, AB 分别切于 R, S,T ，试证： AR , B
