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1、函数与导数经典例题函数与导数1.已知函数f(x)4x33tx26txt1,xR，此中tR（）当t1时，求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程；（）当t0时，求f(x)的单一区间；（）证明：对随意的t(0,),f(x)在区间(0,1)内均存在零点【分析】（19）本小题主要考察导数的几何意义、利用导数研究函数的单一性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考察运算能力及分类议论的思想方法，满分14分。（）解：当t1时，f(x)4x33x26x,f(0)0,f(x)12x26xf(0)6.所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y6x.（）解：f(x)12x26tx6t2
2、，令f(x)0，解得xt或xt.因为t0，以下分两种状况议论：2（1）若ttt,当x变化时，f(x),f(x)的变化状况以下表：0,则x2ttt,t,22f(x)+-+f(x)所以，f(x)的单一递加区间是,t,t,;f()的单一递减区间是2x（2）若t0,则t，当x变化时，f(x),f(x)的变化状况以下表：tx2,tttt,22f(x)+-+f(x)所以，f(x)的单一递加区间是,t,t,;f()的单一递减区间是2xt 6,t。2tt,.（）证明：由（）可知，当t0时，f(x)在0,t内的单一递减，在t,内单一22递加，以下分两种状况议论：（1）当t1,2时，f(x)在（0，1）内单一递减
3、，2即tf(0)t10,f(1)6t24t3644230.所以对随意t2,),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。（2）当0t1,即0t2t内单一递减，在t内单一递加，若2时，f(x)在0,122t(0,1,f17t3t17t30.244f(1)6t24t36t4t32t30.所以f()在t,1内存在零点。x2若t(1,2),ft7t3t17t310.244f(0)t10所以fx内存在零点。()在0,t2所以，对随意t(0,2),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。综上，对随意t(0,),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。2.已知函数f(x)2x1，h(x)x32（）设函数F(x)18
4、f(x)x2h(x)2，求F(x)的单一区间与极值；（）设a3f(x1)32lgh(ax)2lgh(4x)；R，解对于x的方程lg24（）设nN*，证明：f(n)h(n)h(1)h(2)Lh(n)16本小题主要考察函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考察数形联合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、剖析问题、解决问题的能力解：（）F(x)18f(x)x2h(x)2x312x9(x0)，F(x)3x212令F(x)0，得x2（x2舍去）当x(0,2)时F(x)0；当x(2,)时，F(x)0，故当x0,2)时，F(x)为增函数；当x2,)时，F(x)为减函数x2为F(x)的
5、极大值点，且F(2)824925（）方法一：原方程可化为log43f(x1)3log2h(ax)log2h(4x)，42即为log4(x1)log2axlog24xlog2ax，且xa,1x4,4x当1a4时，1xa，则x1ax，即x26xa40，4x364(a4)206204a5a，1xa，4a0，此时x23此时方程仅有一解x35a当a4时，1x4，由x1若4a5，则0，方程有两解若a5时，则0，方程有一解若a1或a5，原方程无解方法二：原方程可化为log4(x1)即1log2(x1)log24xlog22ax，得x26xa40，4xx35a；x3；log2h(4x)log2h(ax)，x1
6、0,ax，4x0,ax0,(x1)(4x)ax.364(a4)204a，1x4xa,a(x3)25.当1a4时，原方程有一解x35a；当4a5时，原方程有二解x35a；当a5时，原方程有一解x3；当a1或a5时，原方程无解（）由已知得h(1)h(2)Lh(n)12Ln，f(n)h(n)14n3n1666设数列an的前n项和为Sn，且Snf(n)h(n)1（nN*）6进而有a1S11，当2k100时，akSkSk14k3k4k1k166又akk1(4k3)k(4k1)k11(4k3)2k(4k1)2(k1)66(4k3)k(4k1)k11106(4k3)k(4k1)k1即对随意k2时，有akk，又因为a111，所以a1a2Lan12Ln则Snh(1)h(2)L()，故原不等式建立hn3.设函数f(x)a2lnxx2ax，a0（）求f(x)的单一区间；（）求全部实数a，使e1f(x)e2对x1,e恒建立注：e为自然对数的底数【分析】（21）此题主要考察函数的单一性、导数
