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1、例题：已知差分方程 x(k + 2)- x(k +1)+1 x(k) = r(k+l)+0.5r(k), 其中66r(k)=1, k0 x(0)=1, x(1)=2。(1) 试由迭代法求其全解的前5 项；(2) 分别由古典法求其零输入解、零状态解，以及全解；(3) 用Z变换法求解差分方程。解：注：解题过程中出现的下标“zi”和“zs”分别表示零输入条件 和零状态条件。1. 迭代法题目中给出的条件仅仅是零输入初始条件，进行迭代求解时的初 始条件应该是全解初始条件。(1) 零输入初始条件本题已给出零输入时的两个初始条件x .(0)=1, x .(1)=2。zizi(2) 零状态初始条件取 k=-2
2、 时，则 x(0) - 5 x(-1) +1 x(-2) = r(-1) + 0.5r(-2)，得 X (0)=0；6 6 zs取 k=-1 时，则 x一5 x(0) + -x(-1) = r(0) + 0.5r(-1)，求得 X(1)=1。6 6 zs(3) 全解初始条件x(0)= x (0)+ x (0)=1；z.zsx(1)= x (1)+ x (1)=3。z.zs根据求出的全解x(0)和 x(1),利用迭代法求解取 k=0 时，则 x(2) - 5 x(1)+1 x(0) = r(1)+ 0.5r(0)，求得 x(2) = 23 ；666取 k=1 时，则x(3)-5x(2) +1 x
3、(1) = r(2) + 0.5r(1)，求得x(3)=空；6636取k=2时则兀6 x（3）+6x=厂皿厂求得兀=幕2. 古典法（1） 零输入解令输入为零，则得齐次方程x(k + 2) 一 x(k +1) + x(k) = 01(a)66根据差分方程定义的算子dnx(k) = x(k + n)，可得它的特征方程d 2 一 5 d + - = 06 6求得特征根为：于是其齐次解为xzi（k）=c（2）k+c2（|）k将初始条件 x（0）=1，x（1）=2 分别代入,得到一组联立方程式x (0) = C + C = 1 zi10时)，(b)式右端恒为零。可以将(b)式看成是一个 以h和h(2)为
4、初始条件的齐次方程(h(0)=0)，如下(c)式。51h(k + 2) h(k +1) + h( k) = 0(c) 1h(1) = 1, h(2) = 4/3,上面已求出(c )式的通解h(k) = C1(2) k + C2(1) k又因为只有h(1)和 h(2)才能够反映单位脉冲响应输入序列8 (k+1) 和0.58 (k)对差分方程输出的影响，而其余时刻差分方程右侧均为零，成为“零输入”则将边界条件h(1)=1, h(2) = 4分别代入齐次通解得h(1) =1C +1C = 12 1 3 21 1 4 h(2) = C + C =-41923解方程组求得系数C1，C2的值C =12,
5、C = -1512将求得的系数代入齐次方程得h(k) = 12(2)k -15(3)k, k 1根据h(k)的表达式求得h(0)=-3,而实际初始条件h(0)=0,则系统响应可分段表示为12(1)k -15()k, k 1h(k)彳230,k = 0也可表示为h(k)=12(2)k -時+38 (k)，k 0(d)(d)式是原方程(1)式的零状态单位冲击响应。按照线性系统的迭加原理，求解单位阶跃信号的零状态响应为x (k) = h(k) * r(k) zs=工 h(i)i=0=工i=0i-i + 38 (i)111 - (_)k+11 - (_) k+1=12 x2- -15 x3- + 31
6、 - - 1 -23= 24 -45 15 1 k +( )k + 322 3+15(1) +9 k +() k +2 32(3) 全解表达式系统完全响应=零输入响应+零状态响应x (k ) = x (k)+ x (k) zi zs=10(1) -12(1) +15(1) + 9=10(尹 -k - 12(2)k + y (3) k + 2=2(1)3(1)9= 2(Tk G)k +22 32求其全解的前 5 项进行验证取 k=0 时，则 x(0)=-2(!)0 - -(!)0 + - = 1；22 32取 k=1 时，则 x (1) = -2(丄)1-(!)1 + 9 = 3 ；22 32取
7、 k =3 时，取 k =2 时，)3 ()3 +=_22 3236则 x(4) = 2(1)4 - (1)4 + - = 941()4 ()4 +=22 32216取 k =4 时，与由“迭代法”求得的结果相同。3. Z 变换法对差分方程两边同时进行Z变换Z x( k + 2) 5 x( k +1) +1 x( k) = Z r 伙+1)+0.5r 伙) 66由线性定理可得Z x( k + 2) 5 Z x (k +1) +1Z x (k) = Z r (k+1)+0.5Z r (k)66由超前定理可得z2 X (z) z2 x (0) zx zX (z) zx (0) + X (z) =
8、zR (z )+0.5 R (z)z1将初始条件x(0)=1, x(1)=2及R(z)二二代入得517zz2 z + X (z) z2 z = (z + 0.5)_666z 1整理后得72z3 + z2 - zX (z)=异3-1z3 -z2 + z-6672=z( z 2 + 6 z - 3)1 1(z -1)(z - 2)(z - ABC=z (1+tt+R)z 一 z-23其中 A，B， C 为待定系数，采用部分分式法求解72z2 + z -(z -1)1 3 1(z -1)(z -尹z -詁z=1B=72(z - 1)632 (z- 1)(z-)(z-_)23=-2C=72(z - 1
9、)63kz 31 T3 (z - 1)(z - )(z -_)23将 A ， B ， C 代入得到1z=-3322、+ 1 + 吕)z -z-23z3 z9z=-2- +-L2 R2 z -1zz 23对X（z）进行Z反变换后可得差分方程的解对比可知，由Z变化法求解差分方程是最简单的。以上工作由2013级一年级研究生完成。第一讲1、什么是计算机数字控制系统？ 一般由哪几部分组成？请 用框图形式给出实例，并简单说明其工作原理。计算机控制系统就是利用计算机（通常称为工业控制机）来实现生产过 程自动控制的系统；一般由计算机和生产过程两部分组成；计算机控制系统由工业控制计算机主体（包括硬件、软件与网格
10、结构） 和生产过程两大部分组长。其中硬件系统有主机、输入输出通道、外部设备、 检测与执行机构组成；三个步骤原理： 实时数据采集：对来自测量变送装置的被控量的瞬时值进行检测和输入。 实时控制决策：对采集到的被控量进行分析和处理，并按已定的控制规律，决定将要采取的控制行为。 实时控制输出：根据控制决策，适时地对执行机构发出控制信号，完 成控制任务。2、实时、在线方式、离线方式的含义是什么？实时：指信号的输入、计算和输出都要在一定的时间范围内完成，亦即计 算机对输入信息，以足够快的速度进行控制，超出了这个时间，就失去了控 制的时机，控制也就失去了意义。在线方式：在线方式亦称为联机方式，是指生产过程和
11、计算机直接连接， 并受计算机控制的方式称为。离线方式：离线方式亦称为脱机方式，是指生产过程不和计算机相连，且 不受计算机控制，而是靠人进行联系并做相应操作的方式。3、简述计算机数字控制系统的发展趋势。计算机数值控制系统的发展趋势有控制系统的网络化、扁平化、只能化、 综合化。第二讲1、简述计算机控制系统中过程通道的基本类型及其作用。数字量输入通道：接受外部装置或产生过程的状态信号，同时将状态信号经转换、保护、滤波、隔离等措施转换成计算机能够接收的逻辑信号；数字量输出通道：把计算机输出的微弱数字信号转换成能对生产过程进行控 制的数字驱动信号；模拟量输入通道：把被控对象的过程参数如温度、压力、流量、
12、液位重量等模拟信号转换成计算机可以接收的数字量信号；模拟量输出通道：把计算机处理后的数字量信号转换成模拟量电压或电流信 号，去驱动相应的执行器，从而达到控制的目的。2、简述计算机控制系统抗干扰技术的基本措施。克服干扰的措施主要有：硬件措施、软件措施和软硬结合的措施。其中硬件抗干扰措施包含：过程通道抗干扰技术；CPU抗干扰技术；系统供电与接地技术。针对不同的干扰采用不用的抗干扰技术： 过程通道抗干扰技术：针对串模干扰，采用滤波器、双积分式A/D转换 器、双绞线作信号引线等方法来抑制；针对共模干扰，采用变压器隔离、光电隔 离、浮地屏蔽、采用仪表放大器提高共模抑制比等方式；针对长线传输干扰可采 用双绞线与同轴电缆进行传输； CPU抗干扰技术：使用Watchdog（俗称看门狗）、电源监控（掉电检测及保 护）、复位等； 系统供电与接地技术：对于系统供电添加电源异常保护措施；对于接地技 术有单点接地、低频接地技术、通道馈线接地技术、主机外壳接地但机芯浮空、 多机系统的接地等。3、什么是采样过程、量化误差、孔径时间？采样过程:按一定的时间间隔T,把时间上连续和幅值上连续的模拟信号，转变 成在时刻0、T、2T、kT的一连串脉冲输出信号的过程叫做采样过程。量化误差：当离散信号采样值的电平落在两个相邻量化电平之间时，就要舍 入到相近的
