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1、 高一数学 函数 函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），xA，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集
2、合f（x）|xA叫做函数的值域.2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且
3、皆为数集.4.映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一。5分段函数：（举一例）。6复合函数：若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=fg(x)称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。题型讲解 例1设集合，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（ ）A.8个 B.12个 C.16个 D.18个解：为奇数，当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应
4、方法故映射的个数是故选D.例2 集合A=3，4，B=5，6，7，那么可建立从A到B的映射个数是_，从B到A的映射个数是_.解：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1339.反之从B到A，道理相同，有N22228种不同映射.答案：9 8例3 A=1，2，3，4，5，B=6，7，8从集合A到B的映射中满足f（1）f（2）f（3）f（4）f（5）的映射有（ ）A.27 B.9 C.21 D.12解：（1）当全是等号时，（即与B中的一个元素对应），则f有C个; （2）有一个不等号时的映射（即与B
5、中的两个元素对应），f有CC=12个; （3）有二个不等号的映射，f有CC=6个。所以共有3+12+6=21个，答案选C。另一种解释法：将元素1，2，3，4，5按照从小到大的顺序串成一串之间有4个节点。若只有一个象就让这一串整体对应有C3种方法；若恰有两个象就将这一串分为两段，并按照大小顺序对应，有CC12种方法；若恰有三个象就将这一串分为三段，并按照大小顺序对应，有CC6种方法。根据分类计数原理，共有3+12+6=21个映射。故选C。例4 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（
6、x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1.剖析：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数f（x）=的定义域为（，0）（0，+），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当nN*时，2n1为奇数，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）
7、由于函数f（x）=的定义域为x|x0，而g（x）=的定义域为x|x1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.评述：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数.（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.例5某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分
8、裂成4个，一直分裂下去（） 用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；（）用图像表示1个细胞分裂的次数n(nN)与得到的细胞个数y之间的关系；解：（） 利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下分裂次数12345678细胞个数248163264128256（）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是y2n，nN变式：一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存KB，然后每分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的倍，那么开机后经过 _ 分钟，该病毒占据MB内存（MB=KB）.例6试构造一个函数，使得对一
9、切有恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是 .解：的图像部分关于原点对称，部分关于轴对称，如 点评本题是一道开放题，你能给出其它的答案吗？请不妨一试例7某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量（件）之间大体满足关系： （其中c为小于96的正常数）注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品其余为合格品已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量（1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？解：（1）当时，所
10、以，每天的盈利额;当时，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件故，每天的盈利额.综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0当时，令，则故 当且仅当，即时，等号成立所以（i）当时，（等号当且仅当时成立）（ii） 当时，由得，易证函数在上单调递增（证明过程略）所以，所以，即（等号当且仅当时取得）综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润点评分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待例8 矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；（2）求的最大值解：（
11、1），函数的解析式：；（2）在上单调递增，即的最大值为例9 函数对一切实数，均有成立，且，（1）求的值；（2）对任意的，都有成立时，求的取值范围解：（1）由已知等式，令，得，又，（2）由，令得，由（1）知，在上单调递增，要使任意，都有成立，当时，,显然不成立当时，解得的取值范围是学生练习 题组一：1.设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是A.f:xy=|x|B.f:xy=C.f:xy=3xD.f:xy=log2（1+|x|）解析：指数函数的定义域是R，值域是（0，+），所以f是xy=3x.答案：C2.设M=x|2x2，N=y|0y2，函数f（x）的定义域为M，值域为
12、N，则f（x）的图象可以是解析：A项定义域为2，0，D项值域不是0，2，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B.答案：B3.已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（a）等于A.b B.b C. D. 解析：f（a）=lg=lg=f（a）=b.答案： B4.函数y=的定义域是A.，1）（1，B.（，1）（1，）C.2，1）（1，2D.（2，1）（1，2）解析：x1或1x.y=的定义域为，1）（1，.答案：A5.若函数f（x）=loga（x+1）（a0，a1）的定义域和值域都是0，1，则a等于A. B. C. D.2解析：f（x）=loga（x+1）的定义域是0，1，0x1，则1x+
13、12.当a1时，0=loga1loga（x+1）loga2=1，a=2；当0a1时，loga2loga（x+1）loga1=0，与值域是0，1矛盾.综上，a=2.答案：D6.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2nn，则在映射f下，象20的原象是A.2 B.3 C.4 D.5解析：由2nn20求n，用代入法可知选C.答案：C7.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是A.10%B.15%C.18%D.20%解析：设降价百分率为x%，2000（1x%）2=1280.解得x=20.答案：D8.设函数f（x）=则使得f（x）1的自变量x的取值范围为A.（，20，10B.（，20，1C.（，21，10D.2，01，10解析：f（x）是分段函数，故f（x）1应分段求解.当x1时，f（x）1（x+1）21x2或x0，x2或0x1.当x1时，f（x）1413x10，1x10.综上所述，x2或0x10.答案：A9.已知f（x）=则不等式xf（x）+x2的解集是_.解析：x0时，f（x）=1，xf（x）+x2x1，0x1；当x0时，f（x）=0，xf（x）+x2x2，x0.综上x1.答案：x|x110
