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1、直线与圆锥曲线的综合应用考情分析考点新知会求定点、定值、最值等问题；掌握函数与方程等价转换、分类讨论等思想方法掌握圆锥曲线的简单应用.1. (选修11P44习题4改编)以双曲线1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是_答案：y212x解析：双曲线1的中心为O(0，0)，该双曲线的右焦点为F(3，0)，则拋物线的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p6，所以拋物线方程是y212x.2. 以双曲线3x2y212的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是_答案：1解析：双曲线方程可化为1，焦点为(0，4)，顶点为(0，2)椭圆的焦点在y轴上，且a4，c2，此时b2， 椭圆方程为1.3
2、. 若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p_答案：4解析：椭圆1的右焦点(2，0)是抛物线y22px的焦点，所以2，p4.4. 已知抛物线y22px的准线与双曲线x2y22的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为_答案：(1，0)解析：设双曲线x2y22的实半轴、虚半轴、半焦距分别为a、b、c，则ab，c2.故其左准线x1，故1，p2.故焦点坐标为(1，0)5. 已知圆C：x2y26x4y80.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为_答案：1解析：本小题主要考查圆、双曲线的性质圆C：x2y26x4y80，令y0x26x80，得圆C与坐标轴的
3、交点分别为(2，0)、(4，0)，则a2，c4，b212，所以双曲线的标准方程为1.1. 圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的轨迹当0e1时，它表示双曲线；当e1时，它表示抛物线2. 曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)3. 平面解析几何研究的两个主要问题(1) 根据已知条件，求出表示曲线
4、的方程；(2) 通过曲线的方程研究曲线的性质4. 求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2) 写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4) 化方程f(x，y)0为最简形式；(5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上题型1最值问题例1设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)、B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点(1) 若6，求k的值；(2) 求四边形AEBF面积的最大值解：(
5、1) 依题设得椭圆的方程为y21，直线AB、EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1、x2满足方程(14k2)x24，故x2x1 .由6，知x0x16(x2x0)，得x0(6x2x0)x2，由D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化简得24k225k60，解得k或k.(2) 解法1：根据点到直线的距离公式和式，点E、F到AB的距离分别为h1，h2.又AB，所以四边形AEBF的面积为SAB(h1h2)22.当2k1，即当k时，上式取等号所以S的最大值为2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦
6、点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点(1) 求证：A、C、T三点共线；(2) 如果3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标(1) 证明：设椭圆方程为1(ab0) ，则A(0，b)，B(0，b)，T.AT：1 ，BF：1 ，解得交点C，代入得1，满足式，则C点在椭圆上，即A、C、T三点共线(2) 解：过C作CEx轴，垂足为E，则OBFECF.3，CEb，EFc，则C，代入得1，a22c2，b2c2.设P(x0，y0)，则x02y2c2.此时C，AC c，SABC2cc2，直线AC的方程为x2y2c0，
7、P到直线AC的距离为d，SAPCdAC cc.只须求x02y0的最大值，解法1：(x02y0)2x4y22x0y0x4y2(xy)3(x2y)6c2，x02y0c.当且仅当x0y0c时，(x02y0)maxc.解法2：令x02y0t，代入x2y2c2得(t2y0)22y2c20，即6y4ty0t22c20.(4t)224(t22c2)0，得tc.当tc，代入原方程解得x0y0c.四边形的面积最大值为c2c2c2，c21，a22，b21，此时椭圆方程为y21.P点坐标为.题型2定值问题例2已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，右准线方程为x.(1) 求双曲线C的方程；(2) 设直线l是圆O：
8、x2y22上动点P(x0，y0)(x0y00)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A、B，求证：AOB的大小为定值(1) 解：由题意，得解得a1，c，b2c2a22，所求双曲线C的方程为x21.(2) 证明：证法1：点P(x0，y0)(x0y00)在圆x2y22上，圆在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，化简得x0xy0y2.由及xy2，得(3x4)x24x0x82x0.切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0x0.设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1x2，x1x2.cosAOB，且x1x2y1y2x1x2(2x0x1)(2x0x2)x1x242x0(
9、x1x2)xx1x20，AOB的大小为90.证法2：点P(x0，y0)(x0y00)在圆x2y22上，圆在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，化简得x0xy0y2.由及xy2，得(3x4)x24x0x82x0 ，(3x4)y28y0x82x0 .切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0x2，3x40.设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1x2，y1y2，x1x2y1y20，AOB的大小为90(xy2且x0y00，0x2，0y2，从而当3x40时，方程和方程的判别式均大于零)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(4m，0)(m0，m为
10、常数)，离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若90，求实数m；(3) 试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论解：(1) c4m，椭圆离心率e， a5m. b3m. 椭圆C的标准方程为1.(2) 在椭圆方程1中，令x4m，解得y. 当90时，直线MNx轴，此时FMFN， . ， ，解得m.(3) 的值与的大小无关证明如下：证法1：设点M、N到右准线的距离分别为d1、d2. ， .又由图可知，MFcosd1c， d1，即.同理，cos1. cos1. .显然该值与的大小无关证法2：当直线MN的斜率不存在时，由(2)知，的值与的大小无
11、关当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为yk(x4m)，代入椭圆方程1，得(25k29)m2x2200m3k2x25m4(16k29)0.设点M(x1，y1)、N(x2，y2)，0恒成立， x1x2，x1x2.， MF5mx1，NF5mx2.显然该值与的大小无关题型3定点问题例3在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24.(1) 若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2) 设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2
12、被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标(提示：本题模拟高考评分标准，满分14分)解：(1) 设直线l的方程为yk(x4)，即kxy4k0.由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d1，结合点到直线距离公式，得1，化简得24k27k0，解得k0或k.(4分)所求直线l的方程为y0或y(x4)，即y0或7x24y280.(6分)(2) 设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为ynk(xm)，yn(xm)，即kxynkm0，xynm0.(8分)因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等
13、故有，化简得(2mn)kmn3或(mn8)kmn5.(12分)因为关于k的方程有无穷多解，所以有或解得点P坐标为或.(14分)已知椭圆y21的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点(1) 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2) 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由解：(1) 直线AM的斜率为1时，直线AM为yx2，代入椭圆方程并化简得5x216x120，解之得x12，x2， 点M的坐标为.(2) 设直线AM的斜率为k，则AM为yk(x2)，则化简得(14k2)x216k2x16k240. 此方程有一根为2， xM，同理可得xN.由(1)知若存在定点，则此点必为P. kMP，同理可计算得kPN.直线MN过x轴上的一定点P.(理)题型4轨迹问题例4如图，已知梯形ABCD中|AB|2|CD|，点E满足，双曲线过C、D、E
