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1、 数学教案已知三角函数值求角 【教学课题】: 已知三角函数值求角 ），我们如何表示 呢？相当于 中如何用 来表示 ，这是一个反解 的过程，由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性，它们不存在反函数，这就要求我们把它们的定义域缩小，并且这个区间满意： （1）包含锐角；（2）具有单调性；（3）能取得三角函数值域上的全部值。 明显对 ，这样的区间是 ；对 ，这样的区间是 ；对 ，这样的区间是 ； 二新课的引入： 1反正弦定义： 反正弦函数：函数 ， 的反函数叫做反正弦函数，记作： . 对于 留意： （1） （相当于原来函数的值域）； （2） （相当于原来函数的定义域）； （3） ； 即： 相当于 内
2、的一个角，这个角的正弦值为 。 反正弦：符合条件 （ ）的角 ，叫做实数 的反正弦，记作： 。其中 ， 。 例如： ， ， ， 由此可见：书上的反正弦与反正弦函数是全都的，固然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地把握这局部学问。 反余弦定义： 反余弦函数：函数 ， 的反函数叫做反余弦函数，记作： . 对于 留意： （1） （相当于原来函数的值域）； （2） （相当于原来函数的定义域）； （3） ； 即： 相当于 内的一个角，这个角的余弦值为 。 反余弦：符合条件 （ ）的角 ，叫做实数 的反正弦，记作： 。其中 ， 。 例如： ， ，由于 ，故 为负值时， 表示的是钝角。 反正切定义： 反正切
3、函数：函数 ， 的反函数叫做反正弦函数，记作： . 对于 留意： （1） （相当于原来函数的值域）； （2） （相当于原来函数的定义域）； （3） ； 即： 相当于 内的一个角，这个角的正切值为 。 反正切：符合条件 （ ）的角 ，叫做实数 的反正切，记作： 。其中 ， 。 例如： ， ， ， 对于反三角函数，大家切记：它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改良后才能消失反函数。反三角函数的性质，有兴趣的同学可依据互为反函数的函数的图象关于 对称这一特性，得到反三角函数的性质。依据新教材的要求，这里就不再讲了。 练习： 三课堂练习： 例1请说明以下各式的含义： (1) ； (2) ； (3
4、） ； (4) 。 解：（1） 表示 之间的一个角，这个角的正弦值为 ，这个角是 ； （2） 表示 之间的一个角，这个角的正弦值为 ，这个角不存在，即 的写法没有意义，与 ， 冲突； （3） 表示 之间的一个角，这个角的余弦值为 ，这个角是 ； （4） 表示 之间的一个角，这个角的正切值为 。这个角是一个锐角。 例2.比拟大小：（1） 与 ；（2） 与 。 解：（1）设： ， ； ， ， 则 ， ， 在 上是增函数， ， ，即 。 （2） 中 小于零， 表示负锐角， 中 虽然小于零，但 表示钝角。 即： 。 例3已知： ， ，求： 的值。 解： 正弦值为 的角只有一个，即： ， 在 中正弦值为
5、 的角还有一个，为钝角，即： ， 所求 的集合为： 。 留意：假如题目没有特殊说明，结果应为精确值，而不应是近似值，书上均为近似值。 例4已知： ， ，求： 的值。 解： 余弦值为 的角只有一个，即： ， 在 中余弦值为 的角还有一个，为第三象限角，即： ， 所求 的集合为： 。 例5求证： （ ）。 证明： ， ，设 ， ， 则 ，即： ，即： ， ， ， ， ，即： 。 例6求证： （ ）。 证明： ， ，设 ， ， 则 ，即： ，即： （*）， ， ， ， ，即： 。 留意：（*）中不能用 来替换 ，虽然符号一样，但 ，不能用反余弦表示 。 四课后作业。 书上：P76.练习,P77. 习题4.11。（均要精确值，划掉书上的准确到）
