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1、竞赛讲座26平面图形的面积1关于面积的两点重要知识（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方例1（第2届美国数学邀请赛题）如图40-1，在ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与ABC的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形t1、t2和t3的面积分别为4，9和49求ABC的面积解设T是ABC的面积，T1、T2和T3分别是三角形t1、t2和t3的面积；c是边AB的长，c1、c2和c3分别是平行于边AB的三个三角形t1、t2和t3的边长那么，由四个三角形相似，得（2）两边夹角的三角形面积，灵活运用ABC的面积公式S=可以方便地解决一些较难的面积问题例2已知P、Q、R、S四点分别由四边形的四个顶点A
2、、B、C、D同时开始沿四边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动（如图40-2），已知P由A至B，R由C至D分别需要两秒钟；Q由B至C，S由D至A分别需要1秒钟；问开始运动后，经过多少时间，四边形PQRS的面积最小？解设P的速度是Q的速度是;R的速度是,S的速度是.在t(0t1)秒时,AP=设四边形PQRS和四边形ABCD的面积分别为S、S.+得,+得,当t=有极小值答:经过秒后,四边形PQRS面积最小下面是一个用不等式来证明相等问题的例子例3(1982年英国数学奥林匹克竞赛试题).PQRS是面积为A的四边形.O是在它内部的一点,证明:如果2A=OP2+OQ2+OR2+OS2那么PQRS
3、是正方形并且O是它的中心证明如图40-3，按题设有此处无图p2+q2+r2+s2=pqsin+qrsin+rsin+spsinpq+qr+rs+sp依题设、必须且只须这里所有的不等式都取等号由取等号有由取等号有p=q=r=s因此PQRS是正方形,O是它的中心.2.等积变换与面积法等积变换的特点是利用图形之间的面积相等或成比例的转换来解题例4(第17届苏联竞赛题)图40-4中阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影的三个四边形的面积也相等证明如图:连ME、NC.SNME=SCEM，MENC若设则由上式可得解以上三式的联立方程组可得这样，则N为BE中点又同理
4、可证例5（第9届全俄中学竞赛题）如图40-5在凸五边形ABCDE中，对角线CE分别交对角线BD、AD于F、G，BF：FD=5：4，AG：GD=1：1，CF：FG：GE=2：2：3，求CFD和ABE的面积比解连AF.CF：FG：GE=2：2：3，SCFD：SDFG：SDEG=2：2：3.SCFD=S,则SFDG=S，SDGF=S.又BF：FD=5：4，SBEF:SFDE=5：4SBEF=(SFDG+SDEG)=S又由BF：FD=5：4，SABF:SAFD=5：4SABE=SABFE-SBFE=（SABF+SAFG+SAGE）-SBFE=5S-S=S(AG:GD=1:1).即SCFD:SABE=8
5、:15.例6六边形ABCDEF内接于O,且AB=BC=CD=(如图40-6(a),求此六边形的面积.分析如果连OA、OB、OC、OD、OE、OF，那么容易看出SAOB=SBOC=SCOD，SDOE=SEOF=SFOA=SAOB+SBOC+SCOD+SDOE+SEOF+SFOA从加法满足交换律联想到图形可以改变位置而重新组合,于是把已知六边形改成等积的新的六边形ABCDEF,其中,O与O为等圆,且AF=BC=DE=1,AB=CD=EF=把AB,CD,EF分别向两方延长得交点M、N、P(如图40-6(b),容易证明BAF=120等,从而MNP为等边三角形.例7（1962年上海竞赛题）已知ABCAB
6、C如图40-7，AB=c,BC=a,CA=b,A、B、C到BC、CA、AB的距离分别为l、m、n.求证：la+mb+nc=2SABC.分析欲证上述结论，只须证SABC+SBCA+SCAB=SABC我们试想,当ABC收缩为一点时,上式显然成立,因此,如果我们能够做到在将ABC逐渐“收缩”为一点的过程中，保持左边三项的面积始终不变，那么问题便解决了.为了保持ABC面积不变，我们试用“等积”工具，设法使A沿平行于BC的直线运动，同样B、C分别沿着平行于CA、AB的直线运动.而这三条分别平行于BC、CA、AB的直线如能共点，即反映ABC可收缩为一点证明分别过B，C作直线BDCA，CDBA，直线CD交B
7、D于D、交BC于E则CDB=BAC，又ABCABC，BAC=BAC=CDB这说明C、D、A、B四点共圆，ADCABCABCDEC，ADBC过D分别作DLBC于L，DMCA于M，DNAB于N，连DA、DB、DC、则由DABC、DBCA，DCAB，得DL=，DM=，DN=于是a+mb+nc=DLBC+DMAC+DNAB=2（SDBC+SDCA+SDAB）=2SABC.有些看似与面积无关的几何问题，如能够巧妙地引入面积关系，便可迅速求解，这就是所谓的“面积法”例（美国数学竞赛题）在一个给定的角内，任决地给定一点，过作一直线交定角的两边于、两点（如图），问过作怎样的直线才能使最大？解设，、的面积分别为
8、、，则于是因此但，当=90时,sin取得最大值1,因此当过P点的直线与OP垂直时,达到最大值3杂题竞赛中出现的一些综合性较强的面积问题，一般采用简化图形或根据题意构造适当的图形来处理例9（1987年全俄中学生竞赛题）凸四边形ABCD的面积为S.K、L、M、N分别是AC、AD、BC和BD的中点证明：SKLNMS证明设P、Q分别是AB、CD的中点（如图）注意到PLQM、MKNL都是平行四边形，且SKLNMS，因此，只须证明KLNM含于PLQM内设PL、MQ分别交AC于E、F，则点K位于E、F之间若不然，例如点K在线段AE上，则有，因，故有关系式，矛盾同理也不能在之间，于是在内同样可证也在内，由此得
9、例（第届全苏中学生竞赛题）点在锐角的边上，作和的外接圆问当点在什么地方时，两外接圆公共部分的面积最小？解设、分别是和外接圆的圆心两外接圆的公共部分面积是两个以为公共弦的弓形面积之和，可以考虑保时弓形的面积最小注意到常数常数因此，研究当弓形所对的圆心角固定时，弓形面积与弓形弦的关系设圆心角为，弓形弦长为，那么弓形的面积为由此可见，上图中若越小，则每个弓形的面积越小、所以当是的高，即，为垂足时，两外接圆公共部分的面积最小例设、为半径等于的上任意两点，若过、的任意线段或曲线段将面积平分，则的长必不小于证明若为的直径，且为直线时，显然将面积平分，这时若是的直径，不是直线时，则，即若不是的直径，如图，作
10、平行于的直径，作关于的对称点，必在上，连，易知为的直径由曲线平分知，上必有点与、在的异侧取这样的一点，并连结、，交于，连、，则据此易证综上得，即的长必不小于最后我们介绍解决三角形面积问题的一个重要技巧三角形的剖分将任意的三边、分别分成等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，这样将分成若干个全等的小三角形（如图）的手续，叫做对进行剖分究竟分成多少等分，则视需要而定例（年全国数学竞赛题）为的边上任一点，作，设的面积等于求证：、四边形的面积中，至少有一个不小于证明如图，作的剖分这时每一个小三角形的面积均等于显然，如果点在线段上变动时，完整地盖住了四个小三角形，因此的面积对称地，如果点落在线段上，则的面积余下的只须讨论点在线段内变动的情形，利用平行线的基本性质可证这说明上图中带阴影的两个三角形有相等的面积又因为，这说明图中涂黑了的两个三角形面积相等将四边形中剪下来再拼到上；把剪下来再拼到上，我们看出：
